Исследования по проблеме Гильберта-Камке

• Автор: Архипов, Геннадий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 c. : ил

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

§ I. Определения и вспомогательные леммы

§ 2. Доказательство теорем

Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБОГО РЯДА

Глава III. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА

Литература

Настоящая диссертация посвящена определению истинного порядка числа слагаемых в проблеме Гильберта-Камке. Проблемой Гильбер-та-Камке называют направление в аддитивной теории чисел, включающее в себя круг задач, связанных с исследованием вопроса об одновременном представлении натуральных чисел суммами

ограниченного числа натуральных слагаемых соответственно вида

в я,
ос , .. . , X . Другими словами, изучается вопрос о разрешимости следующей системы диофантовых уравнений Л
. (1)
Проблема Гильберта-Камке является естественным обобщением проблемы Варинга, которая, как известно, состоит в изучении базисных свойств последовательности У1 -ых степеней натуральных чисел.
Первые исследования по проблеме Гильберта-Камке были выполнены в 1921 году Э.Камке в работе[ в]. О постановка самой проблемы в данной работе на странице 88 сказано следующее;
"HerrHilbert hat vor rund IO Jahren in einem Seminar allgemein die Frage nach der aimiltanen Zerfällung von Zahlen in Potenzen ganzer Zahlen aufgeworfen; d.h. unter welchen möglichst geringen Einschränkungen für die zu zerfallenden Zahlen , gibt es zu einer gegekenen ganzen Zahl Kl ^5- fi, eine positive ganze Zahl JV« Jf(n) von der Art, dajä für je n positive ganze Zahlen > welche jenen Einschränkungen unterliegen,

сііе ОІеісЬигщеп
sich simultan durch ganze Zahlen (перевод: “Господин Гильберт„
QC.jg ^ 0 lösen lassen?11
примерно 10 летчїа
семинаре ставил общий вопрос об одновременном представлении чисел в виде степеней целых чисел; т.в. при каких по возможности наиболее слабых ограничениях на представляемые числа £у имеется для данного целого числа Л ^ X положительное целое
чениям, уравнения [(4)3 одновременно разрешимы в целых числах?“) , Как видно из текста цитаты, с точностью до обозначений систенами выше (во избежании путаницы мы номера формул из цитируемых работ заключаем в квадратные скобки). Статья Б.Камке поступила в печать в середине 1920 года, и можно считать, что первая постановка “проблемы Гильберта-Камке" была дана Гильбертом в связи с его исследованиями по проблеме Варинга, приведшими в 1909 году к её решению (см. [7] ).
Само название “Проблема Гильберта-Камке" было, по-видимому, предложено Ю.В.Динником (см. [28],
глава 2).
В цитированной выше постановке проблемы говорится о дополнительных условиях на параметры в системе [ (4)] , что соответствует условиям на параметры К,-, К в системе (1).
число гг = хгм такое, что для любых П положительных целых чисел > ,.., , которые удовлетворяют этим огранима Г(4)] статьи [8] совпадает с системой (і), рассмотренной

х = Д4гі^*+-+^хк^х

имеет место оценка
|^| і т* (і,««Г*;
Так как объем области ^ при £*4, ’Т"’ , очевидно, равен
^(4+і)и_ ^ то^ И0П0ЛЬЗуЯ приведенную оценку для и
учитывая, что і £ Ли*' , получим;
7 *Р + <
» +=о і=5н.+±
»Л+1)^ Т <0п.Чк1
« Р ‘ * Й.І ■> ‘
Следовательно, при 4 Я.п.'1' интеграл ^ можно оценить так; -^0.54+-0.5О.гН.Си+1)
р4| <. х Р 10 V
Таким образом, для величины *4,^ мы получили асимптотическую формулу
Зм - 3 + й

>| <л^лг,лН./*У*- Л(^Х Р°* 1о‘1У!
4=«кг
Для интеграла отсюда имеем равенство;