Определяемость абелевых групп группами эндоморфизмов

• Автор: Коленова, Елена Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 77 с.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ

ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ГЛАВА

ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ СВОЕЙ ГРУППЕ

ЭНДОМОРФИЗМОВ

§ 1. Е+-группы в некоторых классах абелевых групп

§ 2. ЕпйЕ*-группы в некоторых классах абелевых групп

§ 3. Епё-группы в некоторых классах абелевых групп

ГЛАВА

ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ Епс1Е+-ГРУПП СВОИМИ ГРУППАМИ

ЭНДОМОРФИЗМОВ

§ 1. Об определяемости периодической Епс1Е+-группы своей
группой эндоморфизмов
§ 2. Об определяемости нередуцированной Епс1Е+-группы своей
группой эндоморфизмов
§ 3. Об определяемости Епс1Е+-групп без кручения своими
группами эндоморфизмов
ЛИТЕРАТУРА

Теория абелевых групп является одним из важных направлений современной алгебры. Все возрастающий интерес к абелевым группам понятен: теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп, являясь частью теории модулей, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один из основных побудителей новых исследований в теории модулей (см. [18]).
Начало теории абелевых групп положили работы Л.С. Понтрягина [24], А.И. Мальцева [16], А.Г. Куроша [15], Д. Дэрри [40], Л.Я. Куликова [5]—[13] и др. На становление современной теории абелевых групп решающее влияние оказала монография JI. Фукса [41]. Являясь своеобразной энциклопедией этой теории, эта книга, кроме того, содержит большое число проблем, с решением которых связана деятельность многих специалистов и по сей день. Бурное развитие теории модулей и проникновение в математику теоретико-категорного мышления, последовавшие за появлением монографии Фукса, нашли глубокое отражение в теории абелевых групп. Эта тенденция привела к появлению, по существу, новой книги Л. Фукса [36], [37]. Из современных монографий следует отметить книгу П.А. Крылова, A.B. Михалева и A.A. Туганбаева [4], в которой представлены все основные направления теории колец эндоморфизмов и отражены как ранние, так и полученные в последние годы результаты о связях между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов.

Именно поиск точных соотношений между свойствами группы и свойствами ее групп гомоморфизмов, группы и кольца эндоморфизмов явился, своего рода, катализатором в развитии современной теории абелевых групп. Тот факт, что две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, был установлен Бэром в 1943 году [38] в случае ограниченных групп и доказан Капланским в 1952 году [42] в общем случае. Этот результат Бэра-Капланского послужил началом многочисленных исследований в этом направлении.
Выяснение условий, при которых группа (кольцо) всех эндоморфизмов данной абелевой группы определяет ее строение, является важной задачей современной теории абелевых груш (см. [41], проблемы 41,43; [36], проблема 31). Одним из аналогов этих известных проблем, поставленных JI. Фуксом, является задача определяемое абелевой группы группами гомоморфизмов, группой (кольцом) эндоморфизмов. Здесь и далее будем придерживаться определения из обзора A.B. Михалева, и А.П. Мишиной [17, с.347]: говорят, что группа Л определяется своей группой (кольцом) эндоморфизмов в классе груш X, если из End(A)= End(B) (Е(А)=Е(В)), где ВеХ, следует, что А=В. Если А и В - />группы с изоморфными группами эндоморфизмов, то А и В могут быть не изоморфными [14, §Д.34]. Армстронг [18, с.41] указал условия, при которых изоморфизм групп эндоморфизмов End(A) и End(B) влечет изоморфизм групп А и В, но только для случая, когда А и В- прямые суммы циклическихр-групп. С.Я. Гриншпон [1] при предположении о том, что справедлива обобщенная гипотеза

ранга 1 со сравнимыми типами и множество таких пар прямых слагаемых конечное, то эта группа не является Епй-группой.
Теорема 6.3.1. Редуцированная векторная группа А~П1£1А, {г(А,)=, |/|<^), типы всех прямых слагаемых ранга 1 которой попарно несравнимы, является ЕпА-группой тогда и только тогда, когда у нее существует хотя бы одно прямое слагаемое ранга 1 неидемпотентного типа, и типы всех прямых слагаемых ранга 1 несравнимы по со.
Доказательство.
Необходимость. Пусть А=П1е1А, {г(А^=1, |/|<^) -
редуцированная векторная ЕпА-группа, типы всех прямых слагаемых ранга 1 которой попарно несравнимы.
Если тип любого прямого слагаемого ранга 1 группы А идемпотентный, то по Лемме 2, она является £+-группой, следовательно, не является £>?б/-группой. Поэтому в прямом разложении группы А существует прямое слагаемое ранга 1 неидемпотентного типа.
И теперь, если существуют прямые слагаемые ранга 1, типы которых сравнимы по со, то (Теорема 8.2.1) опять получим, что группа А не является ЕЛ^-группой.
Достаточность. Если у векторной группы А=П1е1А, Ш=1, Мс#7) существует прямое слагаемое неидемпотентного типа, то в силу Леммы 2 группа А не является Е' -группой, а поэтому, для того, чтобы она была £Ы-группой необходимо и достаточно, чтобы она была ЕпАЕ^ - группой. А это выполняется в силу Теоремы 8.2.1, так