Рациональность и унирациональность многообразий Фано над незамкнутыми полями

• Автор: Зак, Николай Федорович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

1 Введение

1.1 История вопроса

1.1.1 Рациональные и унирациональиые многообразия

1.1.2 Многообразия Фано

1.2 Основные результаты диссертации

2 Основные понятия

2.1 Обозначения и соглашения

2.2 к-Формы алгебраических многообразий

2.3 Трехмерные рациональные многообразия Фано

2.3.1 Классификация трехмерных гладких многообразий Фано, рациональность которых известна

2.3.2 Программа минимальных моделей

2.3.3 Элементарные рациональные отображения
3 Формы многообразий Сегре
3.1 Бирациональная проекция на проективное пространство
3.2 Построение инвариантного центра проекции
3.3 Квазитривиальность форм гиперплоских сечений некоторых
многообразий Сегре

4 к-Унирациональные квартики, не содержащие прямых
4.1 к-унирациональные полные пересечения квадрики и кубики
4.2 к-унирациональные четырехмерные квартики
4.3 к-унирациональные многомерные квартики
4.4 Примеры неособых к-унирациоиальных квартик, не содержащих прямых
5 Трехмерные многообразия Фано
5.1 Многообразия первого рода
5.2 Расслоения на коники
5.3 Произведения
5.4 Раздутия
А Публикации по теме диссертации

Глава
1.1 История вопроса
1.1.1 Рациональные и унирациональные многообразия
Простейшими алгебраическими многообразиями являются проективные пространства Р", а их ближайшими родственниками — рациональные и унирациональные многообразия. Многообразие унирациопалъно над нолем. если оно содержит открытое плотное подмножество, параметризуемое открытым подмножеством проективного пространства над этим полем, и ;рационально, если существует взаимно однозначная параметризация такого вида. Ввиду простоты определения и богатства внутренней геометрии, рациональные и унирациональные многообразия всегда были в центре внимания алгебраических геометров и доставляли интересные примеры во многих областях математики. В то же время, вопрос определения рациональности и унирациональности данного алгебраического многообразия, которому посвящена настоящая диссертация, все еще остается мало изученным.
Уже в 19 веке было известно, что всякое бирациональиое отображение

ным над к. Известно (см. [10]), что к-точки на рационально связных над к многообразиях всюду плотны для полей к типа что и доказывает предложение. □
5.2 Расслоения на коники
1. Гиперплоское сечение У/ С Р2 х Р2. Квазитривиальность форм У доказана в предложении 3.3.1.
2. Дивизор Л бистепени (1,2) на многообразии Сегре 5 = Р2 х Р2. Рассмотрим форму X многообразия Л. На Л есть две структуры расслоения на коники над Р2, которые инвариантны относительно действия группы Галуа, поскольку одна из них является Р1-расслоением, а другая — нет. Поэтому соответствующая линейная система, вкладывающая X в 5, также Галуа-инвариантна (см. аналогичное рассуждение в доказательстве предложения 3.3.1). Рассмотрим соответствующее вложение X С У, где У = в. Поскольку в нашей ситуации сомножители многообразия 5 не являются Галуа-сопряженными, У является произведением форм Р2. Эти формы изоморфны Р2 по теореме Ссвери-Брауэра, поскольку на У есть к-точка. Это означает, что на многообразии X есть структура Р^расслоения над Р2, что доказывает его к-рациональность.
3. Дивизор Л на РОО, где V = Р(0р1хр1 0 Ор^рД—1, —I)02. На Л имеется единственная, структура расслоения на коники над Р1 х Р1, причем дискриминантная кривая С С Р1 х Р1 имеет тип 2Н + 5#2, где Щ — прямые, являющиеся образующими группы РнДР1 х Р1).