Однородные супермногообразия, связанные с комплексной проективной прямой и комплексным тором

• Автор: Башкин, Михаил Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 144 с.

1. Предварительные сведения
1.1. Супермногообразия
1.2. Касательный пучок и векторные поля
1.3. Пучки автоморфизмов и теорема классификации
1.4. Нелинейный комплекс и применение теории Ходжа
1.5. Действия на супермногообразиях
1.6. Случай римановой поверхности
1.7. Расщепимые супермногообраэия над СР1
1.8. Спектральная последовательность супермногообразия
2. Однородные супермногообразия с ретрактом СР1'4 и СР115
2.1. Супермногообразие СР1'4. Когомологии касательного пучка
2.2. Описание классов изоморфных супермногообразий с ретрактом СР1'4
2.3. Исследование на однородность супермногообраэий с ретрактом СР1'4
2.4. Вычисление когомологий касательного пучка супермногообразий с ретрактом СР1'4
2.5. Супермногообразие СР1'5. Первая группа когомологий касательного пучка
2.6. Исследование на 0-однородность супермногообразий с ретрактом СР1'5
2.7. Исследование на однородность супермногообразий с ретрактом СР1'5
3. Однородные супермногообразия с ретрактом СР^п
3.1. Супермногообразие СР^п- Первая группа когомологий касательного пучка

3.2. Исследование на 0-однородность супермногообразий с ретрактом СР^ц
3.3. Исследование на однородность супермногообразий с ретрактом СР''4П
4. Однородные супермногообразия, связанные с комплексным тором
4.1. Комплексный тор
4.2. Супермногообразия, связанные с тривиальным расслоением на торе
4.3. Супералгебра Ли векторных полей на супермногообразиях
с ретрактом Тт'[П
4.4. Однородные супермногообразия с ретрактом ТтI"
Приложение
Описание супералгебр Ли векторных полей для однородных су. пермногообразий с ретрактом СР1'4
Заключение
Список литературы

Настоящая диссертация посвящена задачам классификации однородных комплексных супермногообразий. При этом супермногообразие называется однородным, если супералгебра голоморфных векторных полей транзитивна на нем, т.е. порождает касательное суперпространство в каждой его точке. Изучение однородных комплексных супермногообразий было начато в 80-х годах Ю.И. Маниным, который построил супермногообразия флагов, связанные с различными сериями классических линейных супералгебр Ли (см. [14]). Он также поставил и частично решил задачу классификации однородных комплексных супермногообразий вида (Сг4,2, О), где Ог4т2 — грассманово многообразие 2-плоскостей в С4 (см. [14, гл.5]). В связи с этим возникла более общая задача, поставленная А.Л. Онищиком в [17]: классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные комплексные супермногообразия вида (М, О), где М — заданное компактное комплексное однородное многообразие.
Как известно, с каждым комплексным супермногообразием (М,0) связано более просто устроенное комплексное супермногообразие (А/, г), называемое его ретрактом, которое расщепимо, то есть определяется некоторым голоморфным векторным расслоением Е над М. Легко показать (см., например, [11]), что ретракт однородного супермногообразия также является однородным. Поэтому общую задачу классификации однородных супермногообразий можно свести к следующим двум подзадачам (см. [17]):
Описать все однородные расщепимые супермногообразия, соответствующие голоморфным векторным расслоениям Е над М.
Для заданного расщепимого однородного супермногообразия (М, Овг) классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные супермногообразия, имеющие его в качестве ретракта.
Решение первой подзадачи можно дать в следующих терминах: рас-щепимое супермногообразие, соответствующее голоморфному векторному расслоению Е —► М, однородно тогда и только тогда, когда Е —> М является однородным расслоением, а двойственное расслоение Е* -> М

ственному виду, указанному в формулировке теоремы. Таким образом, в этом случае мы получили однопараметрическое семейство орбит. ■ Заметим, что семейство нерасщепимых супермногообразий, отвечающее случаю 10, было по существу построено в работе [23].
2.3. Исследование на однородность
супермногообразий с ретрактом СР1'4
Теорема 2.3.1. Любое супермногообразие с ретрактом СР1'4 0-одно-родно относительно 5.
Доказательство следует из теоремы 2.1.2 и следствия теоремы 1.7.3.

Так как все супермногообразия (СР^О) с ретрактом СР1'4 четнооднородны относительно В, то для исследования их однородности можно применить теорему 1.7.4. Таким образом, нам следует выяснить, на какие из этих супермногообразий поднимаются все поля г = 1,... ,4. Для этого мы воспользуемся следствием теоремы 1.5.3, рассмотрев последовательно все 10 случаев, перечисленных в теореме 2.2.1. В случаях, когда супермногообразие (СР^О) однородно, мы вычислим его супералгебру Ли векторных полей, причем также будет использоваться вышеуказанное следствие. Векторные поля на (СР1,0) будут записываться в окрестности С/о в координатах х, полученных из одноименных координат на СР1'4 с помощью локального расщепления /г0 (в обозначениях теоремы 1.5.3).
Первый случай
соответствует супермногообразию СР1'4. Про это супермногообразие известно, что оно однородно. Супералгебра Ли векторных полей для него имеет вид (см. [21, 23]):
о(СРС>вг)-і =< «5і = = 1, - ■■ ,4 >,
«(СР1, О8г)о =< Щ] = г,І = 1,... ,4, «55 = + V,
«66 = «56 = -Щі «65 = Х2^ -I- XV >, с условием £ и« = 0,