Группа неподвижных точек автоморфизма свободной группы

• Автор: Маслакова, Ольга Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 74 с. : ил.

ГЛАВА 1. ГРУППА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК АВТОМОРФИЗМА СВОБОДНОЙ ГРУППЫ

§ 1. Относительный трейн-трек для автоморфизма свободной группы конечного

ранга

§ 2. Конструкция графов П/ и С/ для гомотопической эквивалентности

§ 3. Определение и свойства отображения

§ 4. Запрещенные развороты в экспоненциальном слое

§ 5. Свойства некоторых путей в графе Г

§ 6. Алгоритм построения графа С

§ 7. Основные результаты

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА КВАЗИИЗОМЕТРИЧНО-СТИ НЕКОТОРЫХ РАСШИРЕНИЙ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ПОСРЕДСТВОМ ЦИКЛИЧЕСКОЙ

§ 1. Предварительные сведения

§ 2. Доказательство теоремы 2
ЛИТЕРАТУРА

Для автоморфизма а свободной группы Е конечного ранга группа неподвижных точек Б1х(а) состоит из всех слов ю € Е таких, что а(ю) = ю. Для множества автоморфизмов 5 группа неподвижных точек Пх(5) определяется как пересечение всех групп Б1х(а) для автоморфизмов а, входящих в 5. В 1975 году Дайер и Скотт [10] показали, что для автоморфизма конечного порядка группа неподвижных точек — свободный множитель в Е. В частности, для таких автоморфизмов верна гипотеза Скотта о том, что ранг группы Е1х(а) не превосходит ранга Е. Позднее Герстеном [15], Голдстейном и Тернером [16, 17], Купером [8] было доказано, что группа Б1х(а) конечно порождена для любого автоморфизма а свободной группы Е. Томас [27] обобщил этот результат для произвольного множества автоморфизмов Б. В 1992 году Бествина и Хендел [4] ввели понятие относительного трейн-трека, при помощи которого доказали гипотезу Скотта для произвольного автоморфизма а группы Е. Другие доказательства [13, 14, 21, 25] получены с помощью действий групп на деревьях. Имрихом и Тернером [18] было показано, что гипотеза Скотта выполняется и для произвольного эндоморфизма группы Е. Дикс и Вентура [9] на основе работы [4] доказали, что ранг группы Их(5) не превосходит ранга Е для множества 5 инъективных эндоморфизмов группы Е. Бергман [2] показал, что такое же неравенство выполняется для произвольного множества 5 эндоморфизмов группы Е.
С использованием техники трейн-треков Коллинз и Тернер полностью описали автоморфизмы, у которых группа неподвижных имеет максимальный возможный ранг. В частности, все они полиномиального роста. В работе Коэна и Люстига [7] приводится алгоритм вычисления базиса Ех(а) для положительных автомофизмов а группы Е, то есть таких, что для некоторого базиса ад,... ,хп группы Е приведенные слова а(ж1) а(хп) состоят только из положительных степеней XI хп.
Пусть Г — конечный связный граф. Трейн-треком называется такая гомотопическая эквивалентность / : Г —> Г, что любая степень / локально инъективна на внутренности любого ребра графа Г. Используя работу [7], Тернер [28] указал алгоритм, позволяющий вычислять базис группы гомотопических классов петель в графе Г, неподвижных относительно трейн-трека /. При этом предполагается, что базисная вершина V неподвижна относительно /. Таким образом, работа Тернера позволяет вычислять базис Пх(а) для автоморфизма а, который можно топологически представить трейн-треком. Не для любого автоморфизма группы Е можно построить трейн-трек, однако Бествиной и Хенделом [4] было показано, что для неприводимых автоморфизмов можно. Приводимым называется такой автоморфизм а, что существует неединичный свободный множитель группы Е вида С?1 * — * С* и а транзитивно переставляет классы сопряженности подгрупп С?1 С*- При этом если С?1 *• • = Е, то к должно быть не меньше 2. Иначе автоморфизм а называется неприводимым. В той же работе [4] введено понятие относительного трейн-трека. Это понятие более сложное, оно формулируется в § 1 главы 1 диссертации. На основе техники относительных трейн-треков и с использованием техники работ [6, 7, 28] в
данной диссертации строится алгоритм нахождения базиса для произвольного автоморфизма а свободной группы Е. Однако, в отличие от работ [7, 28), оценка на число шагов алгоритма не получена. Итак, в главе 1 диссертации получена следующая основная теорема 7.1, отвечающая на вопрос (И) (а) из [1].
ТЕОРЕМА 7.1. Пусть Е — свободная группа конечного ранга, а — ее автоморфизм, заданный образом некоторого фиксированного базиса. Тогда алгоритмически вычислим базис подгруппы Пх(а).
Для элемента и € Е множество {ак(и) : к & Ъ} называется а-орбитой, а множество {гв-1иа(и;) : и) € Е} — а-классом Райдемайстера элемента и. В § 1 используется также понятие а+-орбиты, которая совпадает с множеством {а*(н) : к € М}. Бринк-манн в препринте [6) показал, что проблема вхождения в а-орбиту алгоритмически разрешима. В главе 1 также доказана теорема 7.2, которая показывает, что проблема вхождения в а-класс Райдемайстера тоже алгоритмически разрешима. Пункт (2) этой теоремы отвечает на вопрос 3 (1) из [9].
ТЕОРЕМА 7.2. Пусть Е — свободная группа конечного ранга, а — ее автоморфизм, заданный образом некоторого фиксированного базиса. Тогда выполняются следующие утверждения.
(1) Для любого слова шбЕ его а-класс Райдемайстера состоит из а-орбит.
(2) Пусть и, V — слова в группе Е. Тогда можно алгоритмически определить, принадлежит ли слово V а-классу Райдемайстера слова и.
На основе теоремы 7.2 получена теорема
ТЕОРЕМА 7.3. Пусть Е — свободная группа конечного ранга. Тогда в любом расширении группы Е посредством циклической группы разрешима проблема сопряженности.
Структура главы 1 такова. В § 1 приводятся необходимые сведения из теории относительных трейн-треков Бествины, Фейна и Хенделя [3,4], а также две теоремы Бринкманна из [6] о проблеме вхождения в а-орбиту. В том же параграфе строится “хорошее” геометрическое представление некоторой фиксированной степени автоморфизма а и выводится следствие из теоремы Бринкманна для случая гомотопической эквивалентности конечного связного графа. В § 2 описывается подход Коэна— Люстига и Тернера к вычислению базиса Б]х(а) из [7, 28] при помощи конструкции графа С/. В § 3 вводится определение отображения / и выводятся некоторые его свойства. Это отображение тесно связано с определением движения по предпочтительным направлениям из § 2. Параграф 4 является ключевым в главе 1. В нем выводятся некоторые свойства произвольного относительного трейн-трека, которые используются в параграфах 5,6- Предложения параграфа 5 имеют технический характер и содержат свойства, необходимые в § 6. В самом же параграфе б доказывается алгоритмичность построения графа С/ (в § 2 была предложена лишь процедура). Наконец, в § 7 формулируются основные теоремы и приводятся их доказательства на основе предыдущих параграфов.
Результаты главы 1 докладывались на семинарах “Алгебра и Логика” Новосибирского государственного университета, “Теория групп” и “Геометрическая теория групп” Института математики СО РАН, а также на конференциях в Новосибирске в 1999 г. и в Сумах в 2001 г. [32, 34]. Эти результаты опубликованы в [36). Имеется препринт Люстига [19], в котором утверждается, что проблема алгоритмической
путь ц — г-разрешен. Заменим путь м на [/ *(м)] и будем считать, что в пути [д/(р)] точка сокращения из Нт неудаляема, и пусть а — ее радиус сокращения.
Введем некоторые обозначения. Пусть А — число Перрона-Фробениуса для слоя Нг. Для произвольного /-пути т в графе Сг и числа т ^ 0 положим
1т(т) = /([/т(т)], [/’”+,(т)]). Предположим, что путь г является г-разрешенным и точка у = ш(1о) — неудаляемая точка сокращения в пути [г/(т)]. Для точки сокращения у обозначим ее гп-потомка в пути [/т(т)/т+1(г)] через ут, а /-сегмент для точки сокращения ут через /т (см. § 4). Обозначим через Ьт(т), Кт+1(т) сегменты, на которые разбивается /"* точкой ут. Если сегменты А"1 (г) и Ьт{т) пересекаются в пути [/”*(т)], обозначим их объединение через ит(т) (см. рис. 19 далее).
(А) Предположим сначала, что Тг(м) < (1 + 1/А)(/г(/0(м)) + а). Из определения радиуса сокращения следует, что найдется такое т, при котором

Мм) < (1 + 1/А) • (М/0(м)) + Е Ьг(сц)/Х).
i=l
Пути а1у...,ат (см. определение этих путей в § 4) являются г-разрешенными, путь /о(м) также г-разрешен как поддуть пути м- Умножая это неравенство на Ат и учитывая, что для любого г-разрешенного приведенного пути г выполнено равенство М[/(т)]) = А/Г(т), получим, что

и агт < (1+1/а) - (м[/т(/о(м))])+Е мг-ы]))-

Заметим (см. первые три фигуры на рис. 17), что
[Г(/оМ)] ■ [/т’1(«1)] ■ ■ • • • [/(«т-1)1 • Ы = им). (1)
Поэтому Д([/т(м)]) < (1 + 1/А)Д(/та(м))- Обозначим через а начальный под-путь пути [/т(м)1 такой, что [/т(м)] = <7 • Лг,(м)- Тогда Ьг(а) < 1/А - Д(/т(м)) и, значит, /г([/(<т)]) < ии.ц)). Вершина ут является конечной вершиной пути а и путь а заканчивается на ребро из Нг, которое входит в запрещенный разворот с вершиной ут в пути [/т(м)/т+1(м)1- В частности, путь а невырожден. Так как а заканчивается на ребро из НТ и [/т(м)] = о • /т(м)> то по предложению 1.1 выполнено равенство [/([/т(м)])1 = [/’(сг)]*[/(Лп(м))] и. значит, [/(ст)] — невырожденный начальный подпуть пути [/т+1 (/*)]• Так как /т(м) тоже начальный подпуть пути [/т+1(м)1 и 1<г([/(<т)]) < Д(/т(м)), то [/(сг)] — собственный начальный подпуть пути 1т(/л).
точка
сокращения
[/(/о)]
[Г(ТоШ
[/(«т-1)] _
[/И]
[/т(м)] [/ГО+1М] [ГШР^+Чм)]
Рис. 17.