Обобщенная проблема Серра для алгебр, порожденных одночленами

• Автор: Губеладзе, Иосиф Джимшерович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 67 c. : ил

ГЛАВА I. ПРОЕКТИВНЫЕ ШДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ,

ПОРОЖДЕННЫМИ ОДНОЧЛЕНАМИ

§ I. Решение гипотезы Андерсона в случае

целого расширения

§ 2. Моноиды, группа классов дивизоров которых удовлетворяет условию кручения

Глава II. ОБ АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ПОДКОЛЕЦ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ

§ I. О размерности Крулля подколец кольца

многочленов

§ 2. О подкольцах кольца многочленов,порожденных одночленами

§ 3. О подкольцах кольца многочленов,порожденных одночленам,для которых группа Пикара
тривиальна
ЛИТЕРАТУРА

В первой главе диссертации в случае целостности расширения дается решение гипотезы Андерсона, предпологающей свободность конечно порожденных проективных модулей над аффинными нормальными подкольцами кольца многочленов с коэффициентами из поля, порожденными одночленами ( т ). Поскольку само кольцо многочленов удовлетворяет этим условиям, то гипотеза Андерсона является обобщением известной проблемы Серра, которая в 1976 году, после 20-летних усилий многих алгебраистов, А.Суслиным и Д.Квилленом, одновременно и независимо, была положительно решена. В частности, была доказана такая общая
Теорема (СуслиА—Квиллен). Пусть Я Коммутативное регулярное кольцо с размерностью Крулля Я
Тогда для любого целого <л ^ О конечно порожденные проективные модули над кольцом многочленов Я.(Ни > -Ь,] расширены с кольца £1
Напомним, что при Еложении коммутативных колец Л<=~В 8 -модуль называется расширенным с кольца А , если
для некоторого <Х€ пъос1 - А
М. ~ В 9'МВ том частном случае, когда К является областью главных идеалов, из этой теоремы получаем свободность конечно порожденных проективных 13. [Я*; - -- } 3. л.] -модулей. Как известно (см. Ы ), проблема Серра на геометрическом языке означает следующее: верно ли, что для любых А. > 0 и поля 'к. локально тривиальные (алгебраические)_ векторные расслоения над аффинным пространством £ тривиальны? Вопросы алгебраической К -теории часто приводят к такого рода задачам о выяс-

нении тривиальности векторных расслоений над алгебраическими многообразиями определенного вида. В частности, в [20,22] была доказана свободность конечно порожденных проективных модулей над аффинными подкольцами кольца многочленов Я[ х, у] над полем & , порожденными множествами вида
| X , ХУ* , . - - , X У, у ИЛИ |х , X X; У ( И- > о А
Более того, если А — такое подкольцо и 5^. . .,5^—переменные, то как следует из [20] , естественный гомоморфизм
к'о(А)—-Ко(/И^...,5Л)
является изоморфизмом, хотя само кольцо А нерегулярно. В 1978 г. Д.Андерсон в ИЛ обобщил эти результаты для аффинных нормальных подколец кольца £(х,у1 , порожденных одночленов. То, что кольца, рассматриваемые в [#$] принадлежат этому классу, следует из следующей теоремы
Теорема (Андерсон [д ] ). Пусть А — аффинное
нормальное подкольцо в 41X7] ( по прежнему обозначает поле), порожденное одночленами. Тогда либо А изоморфно кольцу многочленов 4[Х] или , либо существуют П>1 И ^ € (Ч.. взаимопростые числа, для
которых ' _
А^УШУуУУ»,
( обозначает ïfiodft ).
Когда — 1 или ^ ^ ~ ^ получаем кольца из 1
Для колец вида А Андерсон доказывает свободность проективных модулей, для чего применяет технику Сешадри (см. tel ). с помощью которой в 1958 г
[26]
была доказана справедли-

0||

В матрице <Х х II & Ц главный1 рхр -минор имеет ненулевой определитель, т.е. Яспг0(А)^ р + с/^гугЙ. и поэтому отображение
0|д : А
0СА)
является изоморфизмом, очевидно, сохраняющим условие положительной определенности (заметим, что мы пользовались не самым следствием 1.5, а его аналогом для кольца лорановых многочленов, доказательство которого в точности аналогично).
Лемма 2.3. Пусть —- коммутативное кольцо и
такое же подкольцо в как и в лемме 2.2.
Если А конечно порождено и группа обратимых элементов моноида 5Г| 1 ( Б ) тривиальна, то существует подкольцо также порожденное одночленами, для которого А
Доказательство. Из элементарных геометрических соображений очевидно, что условие леммы 2.3 эквивалентно существованию такого натурального числа гъ , для которого в У ^ существуют система линейно независимых векторов 15^ , - - - , 15"^ и неотрицательные целые числа А I ^ , удовлетворяющие равенствам
пб^ - 15Р
П15^ + - - • +
У с!), в 2+(г+=о,

щее моноид
некоторое конечное множество, порождаюрассмотрим