Об оценках плотности нетривиальных нулей дзета-функции Римана

• Автор: Авдеев, Иван Федорович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

Глава 1 Новое доказательство теоремы Ингама

§1 Вспомогательные утверждения

§2 Нижняя оценка среднего значения короткого отрезка ряда Дирихле

§3 Основная верхняя оценка среднего значения модуля дзетовой суммы

§4 Завершение доказательства теоремы Ингама

Глава 2 Плотностные оценки количества нулей

дзета-функции Римана в критической полосе правее прямой сг = 0,75

§ 1 Сведение доказательства утверждения

теоремы к оценке среднего значения полинома Дирихле

§2 Вспомогательные утверждения

§3 Оценка среднего значения полинома Дирихле для «больших» значений

длины промеэ/сутка суммирования
§4 Выделение основного промеэ/сутка изменения
длины полинома Дирихле
§5 Применение неравенства Халаша-Монтгомери
§6 Применение формулы обращение для дзетовой суммы
§7 Сглаживание полинома Дирихле
§8 Завершение доказательства основной теоремы
Список литературы

Настоящая диссертация посвящена оценкам количества нулей дзета-функции Римана ß(■*) в критической полосе комплексной плоскости, лежащих

правее критической прямой К es = <т
С тех пор, как в 1859 году Б. Риман в своем знаменитом мемуаре1 «О числе простых чисел, не превышающих данной величины » связал задачу исследования распределения простых чисел в натуральном ряде с проблемой расположения нулей дзета-функции Римана в критической полосе, изучение свойств дзета-функции Римана превратилось в центральное направление аналитической теории чисел.
Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел.
Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течение последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел.
Плотностные теоремы - общее название теорем, которые дают оценку сверху для числа N(a,T,z) нулей p = ß+iy L-функций Дирихле, где s = a+it,
х{п,к)~ характер Дирихле по модулю к, в прямоугольнике ^ случае к=1 получается плотностная теорема для числа нулей N(a,T) дзетафункции Римана C(‘S) = X”^ •
л—I
1 В. Riemann Ueber die Anzahl der primzahlen unter einer gegebenen Größe // Monatsberichte der Berliner Akademie,
1859.

Первые существенные результаты в доказательстве плотностных теорем об оценке нулей дзета-функции Римана получены в начале XX века в работах Г. Бора и Э. Ландау [10], Ф. Карлсона [11]. В дальнейшем оценкой величины N(a,T) занимались Дж. Литтлвуд [12] , А.Э. Ингам [1], [2], Е.К. Титчмарш [3],
А. Сельберг [13], Ю.В. Линник, Э. Бомбьери [14] и другие математики.
В 1930 году Г. Гогейзель [9] установил связь плотностных теорем с проблемой оценки расстояния между соседними простыми числами, что еще больше повысило их значимость. В последние десятилетия вопросам, связанным с оценкой N(cr,T), были посвящены работы М.Н. Хаксли [17],
Г. Монтгомери [8], А. Ивича [4], М. Ютилы [19], Д.Р. Хиз-Брауна [20], A.A. Карацубы [6], К. Рамачандры [17] и других известных специалистов.
Изложение доказательств теорем об оценках величины N(cr,T) содержится во многих известных монографиях и учебниках по аналитической теории чисел, включая книги Е.К. Титчмарша [3], К. Прахара [15], Э. Дэвенпорта [7], Г. Монтгомери [8], A.A. Карацубы [6], A.A. Карацубы и С.М. Воронина [5], А. Ивича [4] и др.
Современная постановка проблемы оценки плотности нулей дзета-функции Римана правее критической прямой, то есть оценка величины N(a,T), обычно формулируется как задача нахождения новых значений показателя А (<т), для которого выполняется оценка
N(g,T) «е тА^~а)+Е, fe > о. (1)
В 1937 году А.Э. Ингам получил оценку (1) с значением

А(а)= А^а) . Несколько позднее эту оценку он уточнил, заменив в ней
величину Т£ на множитель Zf, где L-nT ис>0 некоторая постоянная. Но новых степенных понижений в оценке (1), справедливой при всех сг> 0,5, не было получено до настоящего времени. Наилучшее значение параметра с-5 указано в монографии А. Ивича.

246)

3502
= 0,90095189091
2—-1 3887
Таким образом, для доказательства теоремы осталось рассмотреть случай, Іп г
когда отношение Ф~~~Г лежит в промежутке Е3 вида Еъ = [$,$,].
Разобьем множество О , на не более чем К — Т° подмножеств, в каждое из которых входят те точки р из О,, разность ординат которых не превышает величины порядка Т0 - Ґ~° =ТК~'.
Выделим из этих множеств одно, в котором содержится максимальное количество этих точек. Само это множество будем обозначать через 0.0, а
количество точек в нем обозначим через 1У0. Ясно, что
іу;«лт0Тв = Ы0К.
Далее можем предполагать, что г2 <&Т0, а параметр с принадлежит
промежутку

4 ’
и при этих условиях займемся оценкой величины #0.
Точный вид величины в > 0 мы выберем позднее в зависимости от значения параметра О.