Полиномиальные соотношения в полукольцах

• Автор: Богданов, Илья Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

Оглавление
Введение
1 Нильпотентность ниль-полуколец и ниль-почтиколец
1.1 Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец
1.2 Локальная ненильпотентность
ниль-почтиколец
2 Алгебраические расширения полуполей
2.1 Решения алгебраических уравнений в полутелах
2.2 Общие сведения об алгебраических расширениях
2.3 Существование расширения
2.4 Расширения идемпотентных полуполей
2.5 Расширения сократимых полуполей
3 Общая теория полутел
3.1 Аддитивная структура полутела
3.2 Теорема коммутативности для полутел
4 Скрытые полукольца матриц
4.1 Критерии для матричных полуколец
4.2 Существенность дополнительных условий
Литература

Введение
В последние десятилетия одной из активно развивающихся областей общей алгебры стала являться теория полуколец. Отчасти это связано с сильной компьютеризацией и, соответственно, возросшими потребностями теории алгоритмов. Полукольца находят также применение в дискретной математике, компьютерной алгебре, теории оптимального управления и других разделах математики. Видимо, впервые понятие полукольца в явном виде появилось в работе Вандивера [23] в связи с аксиоматизацией арифметики. Отдельного упоминания заслуживает такая хорошо развитая область, как идемпотентный анализ (см., например, [4]). Отметим также книги Голана [7] и Хебиша и Вайнерта [8], содержащие большой материал по теории полуколец, бесчисленное множество примеров и обширную библиографию. В России теорией полуколец активно занимаются Е. М. Вечтомов и его ученики; их исследования в основном посвящены развитию функционального подхода к полукольцам. Стоит отметить выпущенные ими книги [1, 6] и несколько защищенных диссертаций [10, 11, 12, 13].
При исследовании полуколец большое внимание уделяется методам и результатам, которые удается перенести из теории полугрупп или теории колец. Многочисленные примеры можно найти в книге [7]. Данная диссертация также в большой степени посвящена подобным результатам.
Теорема Нагаты-Хигмана, доказанная первоначально для алгебр над полем характеристики 0 или большей, чем индекс нильпотентности (см. [19, 21]), была затем обобщена на произвольные кольца. Общая формулировка гласит, что кольцо без п!-кручения, удовлетворяющее тождеству хп = 0, нильпотентно индекса 2" — 1 [2, Следствие 6.1.1]. Из известной теоремы Левицкого [2, Следствие 5.1.2] вытекает локальная

^ нильпотентность ниль-колец ограниченного индекса.
А. Я. Белов в [14] исследовал нильпотентность конечнопорожденн-ых ниль-полу колец (общего вида). В указанной работе получены следующие оценки, ^-порожденное полукольцо с тождеством хп=0 нильпо-тентно степени не выше 2£п+1п3 [14, Теорема 5]. ^-порожденное полукольцо общего вида, в котором выполняется тождество хп — 0, нильпотентно степени не выше пп ■ 2£п+1п2 + п [14, Следствие 9]. В той же работе ставились вопросы о существовании экспоненциальной (по п) оценки для полуколец общего вида и об обобщении этих фактов на почтикольца.
В главе 1 диссертации даны ответы на оба вопроса. В параграфе 1.1 показано, что полукольца общего вида с тождеством хп = 0 локально нилыютентны, а при условии отсутствия п!-кручения нильпотентны; при этом оценки индекса нильпотентности совпадают с соответствующими оценками для колец. В частности, это дает положительный ответ на первый из процитированных вопросов.
В параграфе 1.2 показано, что почтикольца с подобным тождеством не обязаны быть нильпотентными даже при условии коммутативности сложения. Именно, в этом параграфе построены примеры 2-порожденной ненильпотентной ниль-почтиалгебры индекса 2 над произвольным полем, состоящем больше, чем из двух элементов, а также однопорожд-енного ненильпотентного ниль-почтикольца индекса 2. Таким образом, ответ на второй вопрос отрицателен.
Полутела в теории полуколец играют роль, подобную роли тел в общей теории колец. Однако уже свойства полуполей существенно отличаются от свойств полей. Например, класс полутел, помимо (аддитивно) сократимых полутел, включает в себя все Агруппы (если (С, •, V, Л) — Агруппа, то (б, V, •) Ы {0} и (й, Л, •) и {0} — полуполя [25]). Следующие две главы диссертации посвящены исследованию полутел.
Исследования алгебраических уравнений в полуполях были начаты X. И. Вайнертом в статье [27] И касались в основном числовых полуполей, т. е. нодполуполей в М. Толчком к дальнейшим исследованиям в этой области послужил идемпотентный анализ. Г. Б. Шпиз в заметке [16] исследовал решение алгебраических уравнений в идемпотентном полуи-

Иногда мы будем для краткости писать d[P — Q](x, у) и dP{x, у) вместо, соответственно, d[P(x) — Q(x){x,y) и d[P(x)](x,y).
Замечание 1. Дифференциал строгого уравнения — ненулевой многочлен.
Замечание 2. Легко видеть, что дифференциал уравнения, как функция от многочленов, билинеен, то есть, если Р{х) + Рг^х) — Q(x) и Р(х) = Qi(x) + Q2{x) — строгие уравнения, то d[(Pi + Р2) — Q = d[P — Q +d[P2 - Q, d[P - (Qi + Q2) — d[P — Qi) +d[P- Q2]. Дифференциал многочлена (как функция от него) линеен, то есть ДД + Дг] = dP + dP2, если многочлены Р{х) и Р^{х) строгие.
Утверждение 2.1. Пусть S — полутело, Р(х) = Q{x) — строгое уравнение. Тогда существует многочлен R(x, у) с коэффициентами из Z{S) такой, что P{x)Q(y) + R(x,y) — х • d[P — Q{x,y) и R(x,y) + Q(x)P(y) = d[P — Q](x,y) • у (Здесь записаны равенства в полукольце многочленов).
Доказательство. Согласно билинейности дифференциала, достаточно проверить это для случая, когда Р{х) и Q(x) — мономы, Р(х) — рпхп, Q(x) = qmxm. Но тогда, как легко проверить, можно положить
п-гп-
R{x, у) = pnqm ^2 хп~гут+г

(если п-т= 1, то R(x,y) = 0, d[P - Q{x,y) = pnqm.xn~lym). □
Утверждение 2.2. Если а и Ь — корпи строгого уравнения Р(х) = Q(x), то а • d[P — Q](a, b) = d[P — Q](a, b) • b, то есть а и b сопряжены многочленом от них.
Доказательство. Сразу следует из утверждения 2.1, если учесть, что P(a)Q{b) — Q(a)P(b) и а ^ О ф Ъ. □
Следствие 2.1. Если элементы а,Ь полутела S сопряжены и а удовлетворяет некоторому строгому уравнению, то b удовлетворяет тому же уравнению, а ub сопряоюены многочленом от них.