О классификации конечных локальных колец характеристики ρ, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

• Автор: Журавлев, Евгений Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 89 с.

1 Строение конечных локальных колец характеристики р, радикал Дже-кобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

1.1 Предварительные сведения

1.2 Строение конечных локальных колец характеристики р

1.3 Теорема о классификации конечных локальных колец характеристики р

2 Классификация конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

2.1 Предварительные замечания

2.2 Конечные локальные кольца с условием:

d^mFJ(R)/J{R)2 = 3, біпцг 7(Л)2/І(Л)3 = 1, dmFJ{R)3

2.3 Конечные локальные кольца с условием:

сі і т 7(Л)/7(Д)2 = 2, Літр J(R)2/J{n)3 = 2, біт*- J{R)3

2.3.1 Основные определения

2.3.2 Кольца характеристики р ф
2.3.3 Кольца характеристики р
2.3.4 Формулировка основного результата
Список литературы
Работы автора по теме диссертации

Актуальность темы. Одной из актуальных проблем современной алгебры является задача описания и классификации конечных колец малых порядков. Каждое конечное кольцо с единицей единственным образом представимо в виде прямой суммы колец, порядки которых есть степени некоторых простых ЧНССЛ, ТО есть R = ф Rp, где

Rp = {х 6 R | рпх = 0 для некоторого п > 1}. Поэтому при классификации конечных колец достаточно рассматривать только кольца порядка рп. За последние десятилетия удалось полностью описать некоторые из таких типов колец. Так, В.Г. Антипкин и В.П. Елизаров полностью описали кольца порядка рп для п < 3 (см. [1, 2]). В частности, В.П. Елизаров классифицировал все ненилыютентные кольца порядка рл (см. [2]). При этом число неизоморфпых колец, полученных ими, различно для р = 2 и р ф 2. В работе [3] В.А. Ратиновым частично описаны кольца порядка р4, при этом различались случаи р = 2, р / 2 и р е 1 (mod 3), рф 1 (mod 3). Д. Дерр, Г. Орр, П. Пек в 1994 году впервые указали исчерпывающий список некоммутативных колец порядка р4 (см. [G]). Авторы ограничили себя некоммутативным случаем в связи с тем, что конечное коммутативное кольцо является прямой суммой локальных колец, а конечные локальные кольца порядка р4 были к тому времени наиболее изучены (см. также [27]).
Б. Горбас и Г. Вилльямс в 2000 году в работе ’’Rings of order р5” (см. [16, 17]) классифицировали с точностью до изоморфизма все конечные кольца порядка р5. Более того, ими были полностью описаны все конечные кольца порядков р, р2, р3 и р4, при этом их результаты совпали с полученными ранее. Метод, использующий теорию полусовершенных колец и теорию графов, позволил им по сути свести проблему к классификации конечных локальных колец, то есть колец с условием R/J(R) = F, где F — поле. Авторы указали также на то, что их метод открывает перспективы для изучения строения колец более высоких порядков. Здесь важно отметить, что согласно их замыслу, необходимо сначала полностью классифицировать все конечные локальные кольца рассматриваемого порядка, а затем уже, рассматривая соответствующие разложения в прямые суммы полусовершенных колец, получить окончательный результат.
Данная работа посвящена описанию локальных колец. Чтобы понять ее значимость для теории конечных колец, кратко опишем технику классификации конечных локальных колец.
Пусть R — локальное кольцо порядка рп, J{R) — радикал Джекобсона кольца R
и R/J(R) = GF(pr) = F. Заметим, что J(R) является множеством всех пильно-тентных элементов кольца R или, что равносильно, множеством всех делителей нуля. Рассмотрим последовательность R = J(R)° Э J{R) 75 J(R)2 D

dimp J(R)1 /J(R)l+l, тог£«і = пи, в частности, r|n. Если n является простым чи-

слом, то либо J(R) = 0 и R = J(R), либо г = 1. Если же, к примеру, п = 6, то возможны также случаи г = 2 и г = 3.
Далее, так как R является конечным кольцом, то его радикал J{R) нильнотентен. Следовательно, «дг = О тогда и только тогда, когда J(R)N = 0, причем S; = 0 для всех г > N. Если N — наименьшее из всех таких чисел, то есть J(R)N~1 ф 0, то N называется индексом нильпотентности радикала J(R). Так как s* > 1 (0 < і < N — 1), то п> rN. Заметим, что 1 -р Є J(R) (т.к. р = charGF(pr), GF(pr) = R/J(R)), а значит, pN — 0 и характеристика кольца R равна рк для некоторого к < N. Следовательно, п > гк. Случай п = гк был исследован в работах [21, 22, 24]. А именно, с точностью до изоморфизма существует только одно конечное локальное кольцо R порядка ргк и характеристики рк. Это кольцо называется кольцом Галуа GR(prk,ph) и представимо в виде Zpk[x]/(f), где / является многочленом степени г, неразложимым но модулю р. Тривиальные случаи — GR(pn,pn) = Zpn и GR(pn,p) = GF(pn). Кроме того, полностью классифицированы конечные локальные кольца следующих типов (далее s — ^ Sj):

1. |i?| = рп, charR = рк, J{R)2 = 0 для любого к (см. [12, 11]);
2. R — psr, charR = р, J(R)s~l ф 0, то есть 1 = Si > s2 > S3 > • • • > 0 (см. [24]);
3. |Д| = psr, charR = ps_1, J(R)3~l ф 0, то есть так называемые (см. [24]) почти кольца Галуа (near Galois rings);
4. |Л| = ps, г = 1, charR = рк, J(R)s~l ф 0 для любого к (см. [16, 17]);
5. |Я| = рк+х = р ■ charR (см. [16, 17]).
Итак, в силу сказанного выше, каждому конечному локальному кольцу соответствует некоторая последовательность (к, г, S, S2, • ■.). Б. Горбас и Г. Вилльямс [16, 17]) при классификации колец порядка ръ перебрали все возможные комбинации значений (k,r,si,S2, ■ ■ ■) для рассматриваемого числа п. Так, при п = 4 и к = 1 им пришлось последовательно описать кольца следующих типов:
(1,1,1,1,1,0,...), (1,1,2,1,0,...), (1,1,3,0,...), (1,2,1,0,...), (1,4,0,...).

Ai,A2 являются симметрическими и С = D. Следовательно, если (А, A2,c,D) (AuA2,C',D'), то C' = D'.
Рассмотрим четверку матриц
Так как матршц>г
1 / d 0 1 ad 0
Р = — , R = -t-j , где a, d, с € F, ad f О
ad I-с a ad 1-2ас а2
стабилизируют пару {А, А2) (см. таблицу), то
/ t(dx — Зсу) aty (t{dx — Зсу) atys
a3d a3d aty
V a3d

/ 1
Если у^Ои charF ф 3, то полагая Р = I х I > R
V 3 у
(1.1)
, t = получаем У
(1.2)
(1.3)