Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр

• Автор: Твалавадзе, Теймураз Вахтангович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Данная работа посвящена изучению простых разложений некоторых типов неассоциативных алгебр и супералгебр Ли в сумму простых подалгебр. Под простым разложением мы понимаем разложение простой алгебры в сумму двух собственных простых подалгебр, причем сумма в разложении не обязательно прямая.
Задача о классификации простых разложений впервые изучалась Онищиком для случая комплексных и вещественных групп Ли. В его работе [7] была получена полная классификация всевозможных факторизаций редуктивных групп Ли. Рассматривая касательные пространства к простым группам Ли, из этой классификации можно получить классификацию разложений простых алгебр Ли над полем комплексных и вещественных чисел в сумму двух собственных редуктивных подалгебр.
В работе [16] Бахтуриным и Кегелем было показано, что не существует разложений простой ассоциативной алгебры в сумму простых подалгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем.
В настоящей работе рассматривается вопрос о нахождении простых разложений в простой супералгебре Ли з1(тп,п) и простых специальных йордановых алгебрах Н(Н„), Н{С}п) над алгебраически замкнутым полем Т*1, которое имеет нулевую характеристику, в первом случае, и произвольную характеристику отличную от двух, во втором случае.
Первая глава является кратким изложением необходимых определений и фактов, в частности, классификации простых
супералгебр Ли и йордановых алгебр.
Во второй главе изучаются разложения простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль в сумму двух собственных простых подалгебр. Напомним, что супералгеброй Ли £ называется ^-градуированная алгебра, то есть £ = £о©А, удовлетворяющая следующим тождествам:
1. Тождество суперкоммутативности
[я, 2/] = -{-1)а0[у,х
2. Обобщенное тождество Якоби
[[*, у], г] = [х, [у, г]] - (-1 )а0[у, [х, г]].
где х € £а, у € Ср и 2 е С.
В частности, произвольную алгебру Ли можно рассматривать как супералгебру Ли с тривиальной градуировкой.
В настоящей работе при расмотрении супералгебр термин "подалгебра"означает ^-градуированная подалгебра.
Основное внимание в главе 2 мы уделяем разложениям супералгебры Ли з1{т,п) в сумму собственных простых подалгебр Ли классического типа.
Основным результатом этой главы является описание простых разложений супералгебр Ли в2(т, п) в сумму двух собственных классических простых подалгебр с точностью до типа разложения. Под типом разложения имеется в виду следующее. Если С — С+С^ где С, Сч — простые подалгебры, то тип разложения есть пара (£], £2) с точностью до изоморфизма подалгебр £, £2. Изучение всевозможных вложений подалгебр (£1, £2) данного типа в £ не являлось целью даной диссертации.

Основным методом исследования простых разложений супералгебры Ли типа sl(m,n) является изучение структуры £о-модуля С для подалгебры С, учавствующей в разложении. Для этого используется аппарат теории представлении полупростых алгебр Ли, в особенности, теория старшего веса.
Хорошо известно, что если в матричной алгебре Mat(n) вместо операции матричного умножения XY рассмотреть операцию коммутирования [X, Y] — XY — YX, то мы получим алгебру Ли. С другой стороны, если вместо операции коммутирования рассмотреть следующую операцию X © Y — XY + YX, то мы получим йорданову алгебру.
Далее, возникает естественный вопрос о классификации простых разложении в простых йордановых алгебрах.
Глава 3 посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной йордановой алгебре J одного из двух типов H(Rn) и H(Qn) (см. определение в главе 1).
В алгебре H(TZn) существует только три типа неизоморфных простых разложений: Н{Т1п) = А + В, где А = H{Fn) и В изоморфна одной из следующих алгебр: H(Fn) или
H(lZn-x). Построение этих примеров основывается на следующей идее: подалгебру А мы рассматриваем в каноническом виде, то есть в виде множества симметрических матриц соответствующего порядка, а В есть образ канонической реализации для алгебр H(F„-1), H(Fn) или H{lZn-1) под действием автоморфизма алгебры Н(Пп) вида <р{Х) = ^p-D^XD + ^-D^iD1)-1, где D — невырожденная матрица с коэффициентами из поля F, V, имеет вид F ® vF.

Пусть, сначала, /Со принимает первый вид. Получаем sl(m) = ni{ Следовательно, для любых Y, Z £ sl(m) имеем
Y = X + Y (1)
Z = —X1 + Z (2)
где У' £ 7Гх(у>2(£о)), У' G 7г2(у)2(А))- Следовательно,
-(Z)1 = -(-X* + ZJ = Х- z' (3)
Вычитая из равенства (1) равенство (3), получаем
У - {—(Z)1) — Y + Zt=X + Y' — X + Z't=Y' — Z*.
Очевидно, что У + Z1 может быть произвольным элементом из sl(m), а У' и —Zn — произвольные элементы из Ят(2(£о))> соответственно. Таким образом, мы получили
нетривиальное разложение s/(m) в сумму двух подалгебр изоморфных sl(l) и sl(q), что невозможно. Случай, когда
/Со принимает второй вид, рассматривается аналогично. Следовательно q = п. Лемма доказана.

Лемма 2.3.2 Пусть подалгебра /С супералгебры S изоморфна Р{т — 1) (Q(m — 1)), и 5Ti(/Co) = V, тогда 7г2(/Со) Ф 0.
Доказательство. Предположим противное, пусть 7г2(/Со) = 0. Тогда в подходящем базисе, алгебра /Со состоит из матриц вида: