Модальные квазинормальные логики без независимой аксиоматизации

• Автор: Горбунов, Игорь Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 81 с. : ил.

Общая характеристика работы

Содержание работы

1 Исходные определения и факты

1.1 Нормальные и квазинормальные модальные логики

1.2 Выводимость, аксиоматизируемость, независимость

1.3 Обобщенные рафинированные шкалы, семантическое задание

модальных логик

1.4 Логики, не имеющие независимой аксиоматизации

2 Некоторые вспомогательные результаты

2.1 Некоторые синтаксические аспекты независимой аксиоматизируемости

2.2 Конечные множества в рафинированных шкалах

2 3 Множества конечной иррефлексивной глубины
2 4 Семантические эквиваленты некоторых формул
2.5 О свойствах редукции

3 Расширения логики Гёделя-Лёба, не имеющие независимой
аксиоматизации
3.1 Об интервалах логик, верхняя граница которых не имеет непосредственных предшественников
3.2 Счётное множество допускающих нормализацию квазинор-мальных логик, не имеющих независимой аксиоматизации
3.3 Счетное множество существенно квазинормальных логик без независимой аксиоматизации
3.4 Непосредственные предшественники логик без независимой аксиоматизации
Библиография

Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. В данной работе рассматриваются такие свойства модальных логик, как их независимая аксиоматизируемость и отсутствие у них независимой аксиоматизации.
Модальной логикой будем называть логику в языке классической пропозициональной логики, к связкам которого добавлена одноместная связка □, которая в естественных языках обычно соответствует модальностям «необходимо», «известно», «доказуемо» и т. п. Все рассматриваемые в диссертационной работе модальные логики содержат формулы вида □ (<£> —¥ ip) (Clip -4 Оф) и все тавтологии классической логики. Правило
подстановки и правило modus ponens принадлежат к постулированным для этих логик правилам вывода.
Множество формул Г будем называть (абсолютно) независимым в классе некоторых логик, имеющих одинаковые множества правил вывода, если для любой формулы ip из Г верно, что из множества Г {ip} не выводима формула <р с использованием лишь постулированных в этом классе логик правил вывода. В том случае, когда класс логик фиксирован, такое можес-тво формул будем называть независимым.
Логику будем называть (абсолютно) независимо аксиоматизируемой, если существует независимое множество формул, аксиоматизирующих эту

5 — бинарное отношение на V такое, что множество V имеет корень;
Н — некоторое подмножество множества 2У;
д — это элемент множества V такой, что для любого х 6 V, если хф д, то дБх,
является образом шкалы 5 при некотором отображении / таком, что выполняются следующие условия:
ДИО = V;
Чх,уеиг(х11у^/{х)3/(у));
Ух, у 6 ¥(/{х)3/(у) =>3ге \г(х11г, /(г) = f{y)));
/-1Ы = <*;
УРе 2У (Рб"<»/-1(Р) 6П).
Тогда
1) если шкала 5 является рафинированной, то и & тоже является рафинированной шкалой;
2) б является редуктом шкалы 5 при редукции /.
Доказательство 1) Сначала докажем, что четверка (5 является шкалой. Для этого достаточно показать, что множество Е замкнуто относительно булевых операций и операции □.
Несложно заметить, что 0 € Е, V € Е и что для любых Р,<3 € П из того, что Р С <3, следует, что /(Р) С Д<2).
Докажем замкнутость относительно операции и. Пусть некоторые множества (Зь (?2 £ то есть для некоторых множеств А, уЬ £ П /(А) = <31 и ДДг) = ^2- Так как множество А С А и Аъ и множество Аъ С А и Дг,