Связь между подгрупповым и нормальным строением конечных групп

• Автор: Путилов, Сергей Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Гомель
• Количество страниц: 111 c. : ил

Глава I. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Глава II. КЛАССЫ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП И РАЗРЕШИМОСТЬ

В КОНЕЧНЫХ ГРУШАХ

Глава III. О ^Г-ДЛИНЕ ^-РАЗРЕШИМЫХ КОНЕЧНЫХ ГРУШ

Глава IV. К ТЕОРИИ ГРУШ ФРОБЕНЙУСА

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Исследование нормального строения конечных групп в зависимости от свойств их подгрупп всегда было и остается центральным направлением в теории групп. Подгруппы с некоторыми теоретикогрупповыми свойствами являются одним из основных звеньев в цепи познания произвольных конечных групп. Существование в группах определенных подгрупп обуславливает в сущности большинство характерных свойств заданного множества групп.
По этому поводу С.Н.Черников в [I] пишет следующее: "Выделяя с помощью некоторого условия ту или иную систему подгрупп произвольной группы (базисную систему подгрупп) и подчиняя их тому или иному требованию (определяющему ограничению), можно получать самые разнообразные классы групп.
...Сужая или расширяя выделенную определяющую систему подгрупп, ослабляя или усиливая взятое определяющее ограничение, можно получать те или иные расширения или сужения изучаемого класса групп".
По предложению С.Н.Черникова, строение группы, связанное со свойствами ее подгрупп, в частности, со взаимоотношениями между элементами некоторого множества подгрупп группы будем называть "подгрупповым строением группы". К подгрупповому строению группы относятся, например, перестановочность подгрупп и вид их пересечений.
Согласно Виландту строение групп, зависящее от свойств ее нормальных рядов, а также связанное с рассмотрением нормальных подгрупп и фактор-групп, называется "нормальным строением группы". К нормальному строению группы относятся, например, свойства разрешимости и сверхразрешимости.
В работе [2] С.А.Чунихин определил более широкий класс групп,
чем разрешимые - % -разрешимые группы. Оказалось, что в ОТ -разрешимых группах (С.А.Чунихин [з] ) и в разрешимых группах (Ф.Холл [32] ) справедливы теоремы типа Силова, т.е. существуют холлов-ские 7Г и “ТГ-подгруппы, любые две из них сопряжены и каждая 71 или 71-подгруппа содержится соответственно в некоторой холловкой или 7Г-подгруппе. Эти теоремы С.А.Чунихина и Ф.Холла положили начало многим замечательным результатам теории конечных групп. Так, например, В.Фейт и Дж.Томпсон в [зз] при доказательстве разрешимости групп нечетного порядка не только используют известные результаты о р -разрешимых группах, но и находят новые пути их изучения и приложения.
К настоящему времени 71-разрешимые и разрешимые группы, ввиду результатов Ф.Холла, С.А.Чунихина, Б.Хупперта и других математиков довольно хорошо изучены. Поэтому, доказав 77 -разрешимость или разрешимость конечной группы, исходя из свойств ее определенных подгрупп, мы подучаем обширную информацию о подгрупповом строении данной группы.
Таким образом, в исследовании взаимосвязи подгруплового и нормального строения конечных групп возникают две задачи: первая-по подгрупповому строению группы определять ее нормальное строение и вторая - исходя из нормального строения группы, устанавливать ее подгрупповое строение.
Настоящая диссертация посвящена исследованию в различных аспектах выше указанных задач.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, а также списка цитированной литературы, содержащего 60 названий. В первой главе приводятся обозначения, определения и дается перечень теорем других авторов, используемых в работе.
Перейдем к изложению и анализу полученных в диссертации результатов.

то индекс МЛ//А в (г/Л/ тоже примарный и нечетный. Аналогично показывается, что индекс $Л//Л/ в £/А нечетный. Тогда по индукции б/А разрешима. Поэтому А - единственная неразрешимая минимальная нормальная подгруппа в б- и, следовательно,
Mg-= S&- е •
Покажем, что О^(М) — Е . В противном случае, так как М&=
— > то Oj/M) Ç 5 П М , откуда по теореме 1
Е . Из того, что коммутант М1 группы М 2-замкнут,
и 0â(М)=Е , следует нечетность порядка подгруппы М/ Так как
6,2,— М /М7 — М/М то б^- абелева группа. Пусть
I G- ' М | — Р . Поскольку М - разрешимая группа, то в ней есть

холловская р -подгруппа И , являющаяся р -дополнением в б
Поэтому б—брМ и б разрешима по лемме 2.17.
Пример простой группы б — PS L С S.? 7) — Sz^ (Z3 ^ Zçi),
где | б ! S ц | = Ч , а I б (Z3 A Zçr) I — 8 , показывает,что
в условии теоремы 2.18 нечетность индексов отбросить нельзя.
Теорема 2.19. Пусть б~ М1 Мд, » где М [С
дисперсивные по Оре подгруппы из б с примарными индексами.
Если М>| имеет 2-замкнутый коммутант, то б разрешима.
Доказательство. Допустим, теорема неверна и
группа б - контрпример минимального порядка. Пусть в дальнейшем
р и ср - соответственно наибольшие простые делители порядков
— М и Мд— S . Покажем, что | б • М | — , а
/ б .* 5 | = . Если Л/ - нормальная подгруппа группы б ,
то подгруппы МЛ//Л/ и SA//V будут в группе &/ /V
— (HN/a/)-(SN/N) иметь примерные индексы. Так как
МЛ//А/ — М/М П /V » a SA/A — 'S/S П А , то условие теоремы справедливо для G/N и по индукции &/N разрешима. Поэтому M0-“ 5g-Е . По условию МрО М и
S