Компоненты схемы модулей полустабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике

• Автор: Артамкин, Дмитрий Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 75 с. : ил.

1. Введение

2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике 0

3. Модельный пример: однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью

4. Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы Мс}(2; 0, 2,0)

5. Компонента М0

6. Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент

6.1. Эллиптическая квартика К}4

6.2. Нормкубика и прямая СС3 и £

6.3. Коника и прямые

6.4. Кривые с двойной структурой

1. Введение.
Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга ^ 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Р", п ^ 3, (см., в частности, работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]).
Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга ^ 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на К 3-поверхностях — ги-перплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.
Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце

90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3.
Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [1, 8]
Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике, С, являющейся многообразием Фано индекса 3,— это работа Дж. Оттавиани и М. Шурека, в которой дается точное описание многообразия М(Д2; 0, 2) модулей стабильных векторных расслоений с с — 0 и сг = 2 на гладкой трехмерной квадрике О. В этой работе доказывается, что многообразие Мо(2;0,2) изоморфно открытому подмножеству Р9, дополнение к которому есть нормальная гиперквартика У4 С Р9, однозначно определяемая квадрикой 0 и конструкцией плюккерова вложения грассманиана 0(1, Р4) в Р9. В этой работе рассматриваются также многообразия М(Д2; —1,2), М(Д2; —1,3) и Мо(2;0,4), относительно которых выяснено следующее:
М<з(2;—1,2) — локально тривиальное расслоение над С}4 <5з со слоем Р2
М<з(2; —1,3) — неприводимое унирациональное приведенное двенадцатимерное многообразие,
М<з(2; 0,4) — неприводимое унирациональное приведенное двадцатиодномерное многообразие.
Стабильные расслоения на квадрике 0 представляют собой от-

крытое подмножество неприводимой компоненты М<з(2; 0,2) схемы модулей Гизекера - Маруямы М<з(2; 0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с = сз = 0, сг = 2.

По двойственности Серра имеем
Ех13(С?С1иС2(1), £) = Нот(£, 0С1исЛ~2))-Применяя функтор Нош(-, С?с1ис2(~2)) к (5.5), получим
... Нот(1с1иС2,0(1)1 £>С1иС2(-2)) ->■ Нот(£, Ос1иС2(-2)) ->
—>• Нот(С?д(—1), Ос,1иС'2(—2)) —у
В то же время
Нот(О0(-1),ОС1ис2(-2)) = Н0(ОС1ис2(-т
Заметим также, что
Нот(2с1ис3,о(1), С>с,ис,2(—2)) = Н° {{ХС1 ис2,о(1)|с1ис2) (—2))
и, так как 1с1ис2#{2)с1ис2 = с2/сь то
Я°((ХС1иС2,0(1)|С1иС2)У(-2)) - Я°(УС1иСа/0(-3)).
Из точной последовательности (5.19) /^(Л^иСг/с^-3)) = 0, откуда получаем что Ех12(1с1ис2,о(1), £) = 0, а значит и Ех1;2(£, £)
0. Вспоминая, что £ — стабильный пучок, получаем гладкость М<з(2;0,2,2) в точке [£] € N4,0, сйтМ(з(2; 0, 2,2) = с!1тЕх11(£, £), по теореме Римана - Роха с!1тЕх11(£,£) = 6сг(£) — 3 = 9, То есть размерность N4,0 (см. (5.22)) совпадает с размерностью Мо(2; 0,2,2), откуда следует гладкость N4^. □
Следствие 5.7.1. М4Д — неприводимое многообразие размерности 13.
Действительно, (ШпМ^о = сПтN40 + сНтР(£) = 9 + 4 = 13. Рассмотрим отображение
<р : М4]0 -» Мо(2; 0,2,0) : ([£], (е0)) •-> Е = кеге0,
которое корректно определенно в силу Предложения 5