Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных разрешимых групп

• Автор: Шумакова, Екатерина Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 79 с.

Оглавление

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Предварительные сведения и результаты

1.1 Кольца и поля

1.2 Теория представлений

1.3 Групповые кольца

Глава 2. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп диэдра и близких к ним групп

2.1 Группы диэдра

2.2 Описание групп центральных единиц целочисленных групповых

колец групп диэдра
2.2.1 Группа диэдра Dю
2.2.2 Группа диэдра
2.2.3 Группа диэдра Т>24
2.2.4 Группа диэдра П2о
2.3 Квазикватернионныс группы
2.4 Обобщенные квазидиэдральные группы
2.5 Связь с циклическими группами
Глава 3. Центральные единицы целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса
3.1 Ранги групп единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса
3.2 Описание г руппы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Фробениуса Ти,5,з
Библиография

Основные обозначения
Основные обозначения, которые используются в тексте диссертации следу-
(e) НОД(тп, п) — наибольший общий делитель чисел тип, аналогично НОД{пі, п2
(f) Cn — cos ~ + г sin ~ — первообразный корень степени п из 1.
2. Пусть К — ассоциативное кольцо с единичным элементом 1. Тогда:
(a) U(К) — группа единиц (мультипликативная группа) кольца К,
(b) Z{K) — центр кольца К (для центра группы используется такое же обозначение),
(c) 1(К) — кольцо целых коммутативного кольца К.
3. N — множество натуральных чисел.
4. Z — кольцо целых (рациональных) чисел.
5. Ъп — кольцо вычетов по натуральному модулю п.
6. Q — поле рациональных чисел.
7. R — поле действительных чисел.
8. С — поле комплексных чисел.
ющие.
1. Всюду далее п,т
(a) и(п) — число всех натуральных делителей п,
(b) [п] — целая часть п,
(c) <Дп) — теоретико-числовая функция Эйлера,
О, если п — четно,
1, если п — нечетно,

9- Q(Cn) — круговое поле, полученное присоединением к полю рациональн-ных чисел Q корней степени п из 1.
10. Пусть К/Q — расширение Галуа. Тогда
(a) Gal(/f) — группа Галуа расширения К/Q,
(b) Nk — норма относительно расширения K/Q.
11. Пусть G — конечная группа. Тогда:
(a) ZG — целочисленное групповое кольцо группы G,
(b) U(Z(ZG)) — группа центральных единиц группового кольца ZG,
(c) V(ZCZG)) — нормализованная группа центральных единиц группового кольца ZG (см, лемму 1.20 на с. 17),
(d) exp(G) — показатель (наименьшее общее кратное порядков всех элементов) группы G,
( ) (G) = / ехр’ если exP(G) 2 (mod 4)>
|exp(G), если exp(G) = 2 (mod 4).
(f) у(х) = — классовая сумма в целочисленном групповом кольце
texG
группы G класса сопряженности х°,
(g) X (G) — множество представителей классов сопряженности конечной группы G (используется там, где конкретный вид не важен),
(h) Irr(G) — множество всех неприводимых комплексных характеров группы G,
(i) Irr(G, ale) — множество представителей классов эквивалентности алгебраически сопряженных неприводимых комплексных характеров конечной группы G (используется там, где конкретный вид не важен) ,
(j) если х ~ характер из Irr(G), то
1) е(х) — минимальный центральный идемпотент комплексной групповой алгебры, соответствующий характеру х (см- пояснения в параграфе 1.3 с. 16),
2) Q(x) ~~ ноле характера х (получается присоединением к Q всех значений характера x)i
3) ха~~ характер алгебраически сопряженный сс помощью
о- 6 Gal(Q(x)),
4) Irr(x, ale) — множество характеров, алгебраически сопряженных с характером х>

2.2.3 Группа диэдра £>24
Рассмотрим таблицу характеров группы £>24 = (Ь) X (а) из [8, с. 354]:
|ж0'| 1 6 6 2 2 2
1 а аЬ Ь 62 Ъ3 Ь4 Ь5 ьв
Хо 1 1 1 1 1 1
Х1 1 -1 -1 1 1 1
Х2 1 1 -1 -1 1 -1
Хз 1 -1 1 -1 1 -1
Х4 2 0 0 /3 1 0 -1 -л/3
Хб 2 0 0 1 -1 -2
Хе 2 0 0 0 -2 0
Х7 2 0 0 -1 -1 2
Х8 2 0 0 -л/3 1 0 -1 л/5
Рассмотрим два упорядоченных базиса С-пространства комплексной групповой алгебры С024:
У(£>24) = (уа,УиУ2,Уз,У4,У5,Ув,У7,У»), где у0 = у{ 1) = 1,7/1 ~ у{а), у2 = у(аЬ), Уз = У(Ь), 2/4 = у(Ь2), г/5 = у{Ь3), ув = у(Ь4). г/7 = у(Ь5), 2/в = г/(&6) (базис из классовых сумм для центра комплексной групповой алгебры С1124);
Е(01й) = (ео,е1,е2,ез,е4,е5,еб,е7,е8), где е(хо) = е0, е(х!) = еи е(хг) = е2, е(Хз) = е3, е(х4) = е4, е(х5) - е5, е(хе) = е6, с(х7) = е7, е(х») = е8 (базис из минимальных центральных идемпотентов центра комплексной групповой алгебры СЛ24).
Пусть Т(/?24) и 5’(£>24) ~ матрицы перехода от базиса У (Д>4) к Е{Е) 24) и от базиса Е(Е>24) к Р(Дг4) соответственно, т. е.

Лемма 2.7. Матрицы перехода имеют вид
(1 1 1 1 4 4 4 4 4
1 -1 1 -1 0 0
1 -1 -1 1 0 0
1 1 -1 -1 2/3 2 0 -2 -2/3
1 1 1 1 2 -2
1 1 -1 -1 0 -4
1 1 1 1 -2 -2
1 1 -1 -1 -2/3 2 0 -2 2/3
1 1 1 1 -4 4 -4 4 -4 У