Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств К3 поверхностей

• Автор: Никольская, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение
Глава

§ 1. О группах и алгебрах Ли

§ 2. Структуры Ходжа и классы Пуанкаре

§ 3. Точная последовательность, индуцированная спектральной

последовательностью Лере

§ 4. Свойства КЗ поверхностей. Группа Ходжа поверхности

типа КЗ

§ 5. Стандартная гипотеза типа Лефшеца

§ 6. Фундаментальная группа, представление монодромии,

пучки Яг7г*<0>
Глава
§ 7. Некоторые замечания о группе Ходжа КЗ поверхности
§ 8. Алгебраические циклы на расслоенном произведении
§ 9. Доказательство стандартной гипотезы В(Х)
§ 10. О геометрии расслоенного квадрата гладкого семейства КЗ
поверхностей
Глава
§11. О представлениях монодромии, ассоциированных с гладкими
семействами КЗ поверхностей
§ 12. О геометрии гладких моделей расслоенных произведений
семейств КЗ поверхностей с умножениями из мнимого
квадратичного поля
§ 13. Алгебраические циклы на гладкой модели расслоенного
произведения семейств КЗ поверхностей
§ 14. Алгебраические циклы на гладкой модели расслоенного
квадрата семейств КЗ поверхностей
Заключение
Список литературы
Введение
Актуальность темы исследования и степень её разработанности.
Пусть А - гладкое проективное ^-мерное многообразие над полем С комплексных чисел, и пусть Н^(Х,0) — <0>-подпространство в Я2г(А, <0>), порождённое классами когомологий с1х(^) € Н2г(Х,0) алгебраических циклов 2 коразмерности гнаХ. Гипотеза Ходжа утверждает, что
нЦфх, <о>) = Н21(Х, д) п н1,х, с) V*,
где Нг,1(Х, С) компонента типа (г, г) разложения Ходжа ЯЙ(А,(0)<8>С = ® ЯМ(А, С)
p+q=2г
(СМ. [1]).
Напомним, что линейное отображение и* : Нг(Х,0) Ш{Х, О) называется алгебраическим, если оно является ограничением отображения 0а.ЯА:(Х, <0>) =Г ЯДА, Q) —> Я*(А,<® , индуцированного элементом О-век-торного пространства Я*1ё(Х х X, <0>) [2, п. 1.3.6]. Другими словами, отображение и* алгебраическое, если существует алгебраический цикл Z с коэффициентами в поле 0> рациональных чисел (конечная формальная линейная комбинация с коэффициентами из (Ц> алгебраических подмногообразий на А х X), для которого и = с1ххх(%) и
и* : Я* (А, О) Я* (А х X, <0>) Н*(Х хХ,0)^ Я*(А,<2),
где рг1;
рг2 : X х X -э X - канонические проекции, линейные операторы ргД рг2* определены формулами рг*(гг) = и; 0 1 (1 € О = Я°(А, О)), рг2*(с1х(ж) ®
ги) — ги (х £ X - некоторая точка, с1х(ж) € Я2<г(А, 0>) - образующая 1-мерного пространства Н2Л(Х,<0>), ю £ Нк(Х, Q) и
рг2+(ЯДА, (0) <8> ЯДА, <0>)) = 0 для к ф 2б, причем по теореме Кюннета Я* (А х

АГ,а) = ^Нк(Х,®)®Ш(Х,®)).Еслп У0 ^ Н1(Х,®) и^4 Н*(Х,®>)
- ^-подструктуры Ходжа, то мы называем линейное отображение —э И-^ алгебраическим, когда оно является ограничением отображения и* : Нг(Х, ®) —> Нз(Х,0>), индуцированного алгебраическим классом и € #*1§(Х х X, (Д).
Пусть Н - гиперплоское сечение многообразия X (сечение X гиперплоскостью проективного пространства Р" Э X). Обозначим через Ь оператор Лефшеца на Н*(Х,®), определённый формулой Ьх — с1 х{Н) х. Согласно
сильной теореме Лефшеца отображение
Ьй-г . нХ,®) -4 Н2а~Х,®)
является изоморфизмом для любого i < б. Пусть Аё~г : П2г1~г(Х, (2) ^
Нг(Х,®) изоморфизм, обратный к Ьа~г. Если для всех I < б изоморфизм Аа~г алгебраический, то говорят, что для X верна стандартная гипотеза Гротендика В(Х) типа Лефшеца [4].
Для j>0 имеется примитивное разложение Лефшеца:
Н*(Х,®)= ® Ьк&-2к(Х),
к>тах(0^—<1)
где Рг(Х) = Нг(Х,®) П Кег Ьа~г+1 (г < <1) — примитивная часть Нг(Х,®) [3, § 3,(3.4)]. В частности, любой элемента; € Н^Х,®) однозначно записывается в следующем виде:
Х = ^2 ЬкХу-2к,
к>тах( 0,7—с/)
где Xj-2k € Р]~2к(Х) [3, § 3, (3.3)]. Это разложение позволяет определить абстрактный оператор степени —2:
Ах = ^ Ьк~хх^2к-
к>тах{^—(£)
Стандартная гипотеза Гротендика В(Х) типа Лефшеца утверждает, что оператор Л алгебраический [4]. Обозначим через СЛ двойственный оператор
Поэтому фильтрация объекта Еп = Нп(Х, О1) имеет вид
Еп = Э Е Э Е% Э 0.
Значит,
Щ = Я2(С, Я”"2тг.<9) = Кег[Я1п -> Е?/Е% = НС, Я"-1^)] = Кег[Кег[Я£ -» Е%/Е% = Н°(С, ЯптгЛ)] -> НС,ВГЧ,Щ = Кег[Кег[Я”(Х, <0>) -> Н°(С, Я";г.И2)] -»• НС, Я^тг*®)],
и имеется точная последовательность
0 -> Я2(С, Я"“2тгЛ) -» Кег[Я"(Х, О) -> Я°(С, Яптг*®)] -> ЯХ(С, Я^’тг^) -> 0,
являющаяся последовательностью (Ц-структур Ходжа в силу теорем (15.11), (15.16) в [17].