Квадратичные вычеты и невычеты и их приложения

• Автор: Копьев, Дмитрий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с. : ил.

Содержание
Обозначения
Введение
1 Распределении значений символов Якоби в последовательностях по системе различных модулей

1.1 Вспомогательные леммы и утверждения

1.2 Оценки вспомогательных сумм

1.3 Доказательство теоремы ддя случая бескубических модулей

1.4 Доказательство теоремы в рбщем случае

1.5 Распределение квадратичных вычетов и невычетов в последовательностях бесквадратных чисел

2 Уязвимость протокола ,Дентальный покер”

3 О вычислении суммы Гауссу специального вида.

3.1 Вспомогательные леммы и утверждения

3.2 Вычисление суммы Гаусса с квадратичной формой в показателе степени
3.3 Распределение значений очень коротких усредненных сумм Гаусса
Литература

Используемые обозначения
В диссертации используются следующие обозначения:
1 если а — квадратичный вычет по модулю р;

— 1 если а — квадратичный невычет по модулю р; О если ра.
— символ Лежандра;
а _ / а / а /а
Я) Р1/ Р2/ Рп
Р1, Р2, ■ ■ ■, Рп — простые числа;
символ Якоби, где <5 = Р1Р2... Рп, а
е(а) = е2та^
[ж] — целая часть вещественного числа ж; {ж} = ж — [ж] — дробная часть числа ж;
1, если п = 1;
р.(п) = (—1)г, если п = р^рг .. ,рг, Рг — простые числа;
О, если р2 | п для некоторого простого числа р
— функция Мёбиуса;

Доказательство. Представим F(X) в следующем виде:
= 4е ^х)+4 ...е,,

Е2 / I х 4" clu (х + аго (х -- а,.,

X д (ж

где штрих во второй сумме означает суммирование по всем наборам 1 < *1 < г2 < ... < %к < гг, 1 < к < п.
Введем обозначения

х Ф ач (х + °»2 ( х + а.
Vßi ) т2 / тк

= ^Е ^~l)k£n^2---elkSlul^ ,гк. Тогда, применяя лемму 1.3, получим следующее равенство
FW = ^ + w{x),

i^wi<^E,i^.-12, ч ■
По теореме 1.3 имеем следующую оценку, для Stlit2> <1к.
|5гьг21 ,J < min (X (тг]тг2.. .т1к)~е ,тчтг2. ..тгк)