Слабо симметрические и коммутативные однородные римановы пространства

• Автор: Якимова, Оксана Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

1. Слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп Ли
1.1. Классификация слабо симметрических пространств
1.2. Правильные изометрии слабо симметрических пространств
1.2.1. Действие группы Н(К) на многообразии .V
1.2.2. Правильные автоморфизмы комплексных сферических пар
1.2.3. Правильные автоморфизмы вещественных слабо симметрических пространств
1.3. Несимметрические слабо симметрические римановы многообразия
1.3.1. Симметрические расширения сферических пар
1.3.2. Расширения разложимых пар
2. Свойства коммутативных однородных пространств
2.1. Критерий коммутативности
2.2. Свойства коммутативных пространств
3. Классификация коммутативных пространств
3.1. Главные коммутативные пространства
3.2. Ядро неэффективности
3.3. Зр]-насыщснные пространства
3.4. Пространства гейзенбергова типа
3.5. Заключение
Библиография

Настоящая диссертация посвящена описанию однородных пространств, на которых алгебра инвариантных дифференциальных операторов коммутативна. Мы будем предполагать, что рассматриваемые однородные пространства являются также римановыми многообразиями, что позволяет применять различные методы римановой геометрии.
Пусть X — О/К - однородное пространство вещественной группы Ли в, причём подгруппа К компактна.
Определение 1. Однородное пространство X называется коммутативным, если
(0) алгебра (7-инвариантных дифференциальных операторов Т>[Х)а на X коммутативна.
К числу коммутативных пространств относятся симметрические пространства Эли Картана. Эти пространства хорошо изучены. Известна их классификация, разработан гармонический анализ на них. Коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов позволяет рассматривать их общие собственные функции. Собственные функции алгебры Т>{Х), инвариантные относительно подгруппы К, называются сферическими функциями на X. В частности, так возникают многие специальные функции.
Оказывается, можно сформулировать более общее геометрическое условие, обеспечивающее коммутативность. В работе, посвященной формуле следа [26], Сельберг ввел понятие слабо симметрического однородного пространства и доказал коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов на таких пространствах.
Пусть X = С /К - связное риманово многообразие, причем действие (7 : X группы С на пространстве X локально эффективно. Предположим, что автоморфизм о € Аи1;((7, К) группы С сохраняет подгруппу К. Тогда он индуцирует преобразование в на пространстве X по формуле я(дК) := а(д)К.
Определение 2, Однородное пространство X называется слабо симметрическим относительно а, если для любых двух точек х, у € X существует такой элемент д € С?, что дх = *'у, ду ~ вх. Однородное пространство X называется слабо симметрическим, если оно слабо симметрично относительно некоторого автоморфизма а.

Сельберг отметил, что, хотя в его работе формула следа выведена для слабо симметрических пространств, она верна также и для коммутативных пространств. До недавнего времени вопрос о совпадении этих двух классов однородных пространств оставался открытым. В 2000 году Лорэ [22] придумал первый пример коммутативного, но не слабо симметрического однородного пространства.
В течение почти 30 лет слабо симметрические однородные пространства не привлекали должного внимания. Во многом это можно объяснить отсутствием достаточного числа примеров. Ясно, что любое симметрическое пространство является также слабо симметрическим. Также ясно, что второй класс пространств шире, это отметил и сам Сельберг. Однако, примеров не симметрических слабо симметрических пространств было известно крайне мало. В последнее время геометрические свойства слабо симметрических пространств изучались в работах Берндта, Ванхеке и Прюфера [14], [15], [16]. Этими авторами были построены новые несимметрические слабо симметрические однородные пространства. Их работы также показывают, что слабо симметрические пространства обладают достаточно интересной геометрией.
В случае редуктивной группы С условия слабой симметричности и коммутативности эквивалентны. Более того, как доказано в работе Ахиезера и Винберга [12], слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп - это вещественные формы аффинных сферических однородных пространств. Последние пространства классифицированы Брионом [17] и Микитюком [6]. В работе [6] доказано, что условие сферичности однородного пространства <7/АТ редуктивной группы (7 эквивалентно условию интегрируемости в классе интегралов Нётер произвольных гамильтоновых систем на Т*(<7/АГ) с С-инвариантными гамильтонианами. В случае произвольной группы Ли понятие сферического однородного пространства не имеет смысла. Его естественной заменой служит понятие слабо симметрического пространства. Было бы интересно понять, следует ли в общем случае из условия слабой симметричности условие интегрируемости в классе интегралов Нётер.
В классификациях [17] и [6] содержатся небольшие пробелы, которые исправлены в настоящей работе, теорема 1.4. Эти результаты позволяют классифицировать коммутативные однородные пространства редуктивных групп и тем самым построить новые примеры слабо симметрических пространств. Многие из полученных таким образом однородных пространств не являются симметрическими многообразиями при некотором или при любом выборе С-инвариантной метрики. Помимо этого, известно, что в случае редуктивной группы (7 алгебра Т>{Х)С полиномиальна. Имеется также конструктивный метод разложения алгебры полиномиальных функций К[Х] в сумму неприводимых б-ин вариантных подпространств. Согласно условию сферичности, это разложение имеет простой спектр.
Пусть теперь в опять произвольная вещественная группа Ли. Обозначим алгебру (7-инвариантных функций на кокасательном расслоении Т*Х, полиномиальных на слоях, через Т’{Т'Х)а.

Следствие. Пусть пространство G/К коммутативно, и N - односвязная коммутативная группа Ли, причем Lie N = п. Положим G := NAL. Тогда однородное пространство G/К также коммутативно.
Теорема 2.1. Однородное пространство X = G/К коммутативно тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
a) R[n]L = R[n]*;
b) для любой точки 7 6 п* пространство Ь1/К-1 коммутативно;
c) для любой точки /3 б т* пространство (Кр A N)/Кр коммутативно.
Замечание 2. Утверждение теоремы останется верным, если заменить в условиях (Ь) и (с) произвольные точки на точки общего положения.
Доказательство. Как уже отмечалось, условие (а) является необходимым. Будем предполагать, что оно выполнено.
На алгебре 5(д/Е) определена А'-инвариантная биградуировка S,l'l(g/t) = Su(n)Sl(l/t). Заметим, что если а е Sn,l,b б Sn’’1' (0,6 б S[g/t)K), то
{а, Ь} = {а, 6}, + {а, Ь}„, где {а, Ъ}, 6 Sn+n''ш'{а, Ь}а 6 Sn+n'-u+l'.
Легко видеть, что алгебра Пуассона S(g/t)K коммутативна тогда и только тогда, когда обе скобки Пуассона { , }„ и { , }[ обращаются на ней в нуль.
(4=) Пусть все три условия выполнены. Покажем сначала, что скобка { , }| равна нулю.
Пусть 7 € п*. Напомним, что 0 = n + l7 + Е, а также что 1/Е и Ц/Е7 изоморфны как А^-модули. Следовательно, имеются следующие изоморфизмы градуированных ассоциативных алгебр и, в тоже время, /^-модулей, S(l/E) = S((7/E7) и S(g/t) = 5((17©п)/Е7). Рассмотрим гомоморфизм заданный формулой
щ : S(0/E) —> Sb/Ш ~ 7(1) : (еп)= S(I/E) = S((7/E7).
Легко видеть, что Im(/J7(S(g/E)K) С S(I7/E7)K’.
Пусть £ б 17,77 б п. Тогда имеем 7({£,т?}) = 7(К>^1) = — [ad*(^>-7](77) = 0 = {?,т(»7)}-Это равенство, а также формула 2.1 позволяют убедиться в том, что для любых биоднородных элементов о, 6 б S[g/t)K, которые без ограничения общности можно также считать элементами S((I7 ф п)/Е7), верно равенство
6},) = {<рДа),<ру{Ь)}.
Здесь вторая скобка - это скобка Пуассона определенная на алгебре S(t7/E7)K’.
Предположим, что {а, Ь}| ф 0 для некоторых элементов а, 6 6 S(g/t)K. Тогда найдется такая точка 7 б п*, что у>7({а, 6}|) ф 0. Но, <£>7({а, 6}i) = {