О тождествах разрешимых индекса 2 алгебр типа (γ, δ)

• Автор: Платонова, Светлана Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

Глава 1. О некоторых многообразиях правосиметричных метабелевых алгебр
§ 1. Алгебры Новикова
§ 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1)
п. 1. Простейшие следствия из определяющих соотношений
п. 2 Переработка операторных слов длины 3 и
п. 3. Вспомогательные тождества
п. 4. Базис свободной метабелевой (1, 1)-алгебры
Глава 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (у,5)
§1. Простейшие следствия из определяющих соотношений
§2. Переработка слов небольшой длины
§3 Вспомогательные тождества
§ 4 Базис свободной метабелевой алгебры типа (у, 3)
Список цитированной литературы
Список опубликованных работ

Хорошо известно, что в теории неассоциативных алгебр важную роль играют понятия разрешимости и нильпотентности. Напомним, что алгебра называется штьпотентной, если для некоторого натурального числа п произведение любых ее п элементов равно нулю. Алгебра называется разрешимой индекса п, если в ней выполняется полилинейное тождество вида:
5„(х,,х2 хп) = 0,

*0(х)
5„+1 (х, Х2„,у, уг ) = (х, Х2„ ) • (у уг )
Примером нильпотентной индекса п алгебры может служить алгебра
матриц вида
0 а2 ап
0 0
0 0 0
с обычными операциями сложения и
умножения матриц.
Легко проверить, что понятия разрешимости и нильпотентности совпадают в классе ассоциативных алгебр. Для алгебр Ли эти понятия различны - двухмерная неабелева алгебра Ли, то есть алгебра с базисом е, / и умножением [е,/ = е является разрешимой, но не нильпотентной.
Напомним, что алгебра называется правоальтернативной, если в ней выполняется соотношение (х, Л, д) = 0, где (х, у, г):= (ху)г — х(уг) — ассоциатор элементов х, у, г. Алгебра называется альтернативной, если в ней наряду с тождеством правой альтернативности выполняется тождество (х,х,у) = 0.
В классе конечномерных альтернативных или йордановых алгебр понятия разрешимости и нильпотентности эквивалентны. Хотя в классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности различны, однако, в некотором смысле близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности.
Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г.В.Дорофеев [3, 4]. Он же привел пример конечномерной правоальтернативной правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотентной [5, с.408]. А. А. Никитин [13] привел пример разрешимой, но не нильпотентной алгебры типа (у, 5). Эти примеры показали, что теорема Нагата-Хигмана о нильпотентности ассоциативных алгебр ограниченного индекса, вообще говоря, неверна для альтернативных алгебр, (-1, 1)-алгебр и алгебр типа (у, «5). Тем не менее, как показал К. А. Жевлаков [5] альтернативные ниль-алгебры ограниченного индекса являются разрешимыми. В 1957 г. А. И. Ширшов [18] обобщил на альтернативные алгебры теорему Левицкого о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебры ограниченного индекса с конечным числом образующих. Аналогичная теорема для (-1, 1)-алгебр была получена И. П. Шестаковым [7]. Она следует из того, что (-1, 1)-ниль-алгебры с существенными тождественными
соотношениями являются локально-нильпотентными.
Данная работа посвящена изучению некоторых многообразий разрешимых индекса 2 (или, в другой терминологии, метабелевых) алгебр. Согласно определению, алгебра называется разрешимой индекса 2, если в ней выполняется тождество:
(аЬ)(ссі)
Многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских и алгебр типа (-1, 1) достаточно активно изучались на протяжении последних 30 лет. Так, А. М. Слинько в Днестровской тетради [10, вопрос 129] поставил вопрос: будет ли конечнобазируемым всякое разрешимое многообразие

ллЧ = Д_.ДЛ2=л,2лл = °-
В силу свойства 6а)
Д,Д,Л.Л,= 0.
В силу соотношения (27), учитывая свойства 5а), 56) и 5в), получим, что
МЛ*- = АЛ*А = *ЛЧ = О. (28)
Далее, умножим свойство 56) на Я, слева:
Я,1хК1{х = у5~7--5 К,КХЯ + 1Л1л1 як я д ' * у х 5(1-5) ' у (1-5)2 ' * ' *
В силу (8)
у 8 у8 —у — 8
ялкл +тг#ЕАКЛДЛ^Л =2у(1-~5) +
+ 7~+г-1кякя
(1-5)2 1 * у
Поскольку выше доказано, что слова вида 1(хКуЯ.Я1 кососимметричны
по всем переменным, то
ЬАКуК=0. (29)
Умножим свойство 5г) на Ь, слева:
2 25-25^
- х у (1 -8){у-8) ' х у х
Так как 28-281 +2у8 ^0, то, учитывая соотношения (28), получим,

£ДДЛ = °- (30)
В силу свойства 2 и соотношений (29) и (30)
я.ЛК2 = -^ЛЧ - ьуялл = о. □
Учитывая лемму 1, получаем
ЛЕММА 5. В алгебре А операторные слова длины > 4 кососимметричны по всем переменным.