Эндоморфизмы и близкие им отображения абелевых групп и модулей

• Автор: Чистяков, Денис Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 81 с.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ

ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ГЛАВА I. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ КАК ЭНДОМОРФНЫЕ МОДУЛИ

НАД СВОИМ КОЛЬЦОМ ЭНДОМОРФИЗМОВ

§1. Периодические абелевы группы и сепарабельные абелевы группы без кручения как эндоморфные модули над своим кольцом

эндоморфизмов

§2. Неприводимые эндоморфные абелевьт группы без кручения

конечного ранга

§3. Эндоморфные абелевьт группы без кручения ранга

§4. Эндоморфные абелевы группы без кручения ранга

§5. Об эндоморфных абелевых группах, обладающих
некоторым эндосвойством
ГЛАВА II. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ КАК МОДУЛИ
С ОДНОЗНАЧНЫМ СЛОЖЕНИЕМ
§1. Абелевы группы как [УА-модули над кольцом Z
§2. Абелевы группы как ЦА-модули над своим кольцом
эндоморфизмов
§3. Почти вполне разложимые абелевьт группы без кручения
с У А-кольцами эндоморфизмов

ГЛАВА III. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕСЯ ЦЕНТРОМ
СВОЕГО КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ
§1. О предел яемостъ периодических абелевых групп
центром своего кольца эндоморфизмов
§2. Определяемость сепарабельных абелевых групп без кручения
центром своего кольца эндоморфизмов
ЛИТЕРАТУРА

Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп, и их теория достаточно хорошо разработана. Глубокие структурные результаты были получены Прюфером, Ульмом. Куликовым для периодических абелевых групп, что позволяет решать многие задачи для этого класса, абелевых групп. Иное положение для абелевых групп без кручения. Даже для групп без кручения конечного ранга не известно никакой удобной полной системы инвариантов. Начало теории абелевых групп без кручения положили работы Понтрягина [12], Мальцева [10], Курогпа. [7], Куликова [6], Дэрри [33].
Серьезное влияние на развитие теории абелевых групп оказала монография Л. Фукса [26] — [27]. Результаты последних лет, касающиеся связей абелевых групп и их колец эндоморфизмов, можно найти в книге Крылова П.А., Михалева A.B., Туганбаева A.A. [5].
Важнейшей задачей теории абелевых групп является поиск точных соотношений между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов, в частности, какое влияние оказывает кольцевая структура кольца эндоморфизмов на соответствующие группы. Имеется ряд классов колен,, строение которых достаточно хорошо изучено. Можно было бы исследовать нх роль как колец эндоморфизмов. Эта программа была предложена Селе [41] и послужила началом многочисленных исследований в этом направлении. Значительных успехов в рассмотрении связей между свойствами группы и свойствами ее кольца, эндоморфиз-

Следствие 1.27. Эндонетеровы группы без кручения конечного ранга эндоморфны.
Доказательство.
Пусть С — группа, о которой идет речь в условии теоремы. Тогда,


где А, — сильно неприводимые группы [14, следствие 11.9.]. Из следствия 1.8., а также леммы 10 следует, что группа С эндоморфна.
Модуль называется конечно порожденным, если он имеет конечное число образующих.
Следствие 1.28. Эндоконечные абелевы группы без кручения с полу первичным, кольцом, эндоморфизмов эндоморфны. Доказательство.
Пусть О — эндоконечная абелева группа с полупервичтшм кольцом эндоморфизмов. Тогда

где все Ai — сильно неприводимые группы и Нот(А{, А^ — 0, при I Ф 3 [14, теорема 11.4.]. Снова получаем, что группа С эндоморфна.