(2,3)-порождение гиперболических симплектических групп

• Автор: Васильев, Вадим Львович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление

Общая характеристика работы

1. Введение

1.1. Основные обозначения и определения

1.2. Вспомогательные факты

2. Группы Е8р2„(Л) большого ранга

2.1. Формулировка основных результатов

2.2. Построение образующих

2.3. Вспомогательные леммы

2.4. Доказательство теоремы 2.

2.5. Доказательство теоремы 2.

3. Группы 8р2п(2) малого ранга
3.1. Группа БрДй)
3.2. Группа 8р10(27)
Список литературы

Общая характеристика работы
Актуальность темы. Одна из важных областей исследований в теории групп посвящена вопросам нахождения минимального количества элементов, порождающих группу, а также определения порядков данных элементов. Особое место в этой области отводится работам по теории (2,3)-порожденных групп, то есть групп, порождаемых инволюцией и элементом порядка 3. Именно к подобным исследованиям относится данная диссертационная работа. Важность темы (2,3)-порождения групп связана с тем, что, согласно результату Ф. Клейна и Р. Фрике [18], эпиморфные образы модулярной группы РЗЬ2(^), за исключением трех циклических групп Ъ, Ъъ, — это в точности (2,3)-порожденные группы.
С начала XX века совместными усилиями многих авторов удалось положительно решить вопрос о (2,3)-порождении для большого количества представителей таких важных классов групп, как конечные простые группы и классические матричные группы над конечнопорожденными коммутативными кольцами.
Наиболее «простым» для исследования оказался случай одного из классов конечных простых групп — знакопеременных групп Ап. Еще в 1901 г. Дж. Миллер в [29] доказал, что данные группы, за исключением А, А%, Аз, Ав, Ат, Аз, могут быть порождены инволюцией и элементом порядка 3. Для прочих простых групп, чей порядок меньше миллиона, благодаря работе Г. Брахана [12], вышедшей в свет в 1930 г., удалось лишь показать возможность порождения двумя элементами.

В последующие 30 лет были опубликованы работы, описывающие структуру ряда представителей другого важного класса конечных простых групп — классических матричных групп над конечными полями, а также классических матричных групп над конечнопорожденными коммутативными кольцами. Так, в 1949 г. Хуа JIo-кен и И. Рейнер [21] доказали, что группы PSp2„(Z) могут быть порождены 4 элементами при п > 2 и 2 элементами при п — 1. Для случая проективных симплектических групп над конечным полем PSp2n(p), где р — простое число, в 1958 г. в работе Т. Рума и Р. Смита [33] было показано, что они могут быть порождены 2 элементами. А в 1959-1963 гг. этот результат был улучшен в работах Т. Рума [32], П. Станека [35] и [36]: было доказано, что PSp2n(g) могут быть порождены двумя элементами, один из которых — инволюция, в случае, когда п > 3 или когда п = 2, q — 2.
В это же время успешно изучалась структура специальных линейных групп: в 1959 г. А. Альберт и Дж. Томпсон [10] доказали, что группы PSLn(g) могут быть порождены 2 элементами, один из которых является инволюцией. Отметим, что в статье случай групп малого ранга разбирается отдельно для каждого значения 2 < п < 4, а для случая п > 5 приводится общее доказательство. В дальнейшем, для некоторых групп PSLn(q) малого ранга был положительно разрешен вопрос о (2,3)-порождении: см. работы А. Макбета [28] — для случая п = 2 и q ф 9; Д. Гарбе [19] и Дж. Коэна [14] — для случая п — 3 и q ф 4.
В работах, упомянутых выше, порождающие группу элементы были построены в явном виде. Дж. Диксон в 1969 г. в [17] предложил «вероятностный» подход к выбору образующих, выдвинув гипотезу:
Гипотеза 1. Вероятность того, что два произвольным образом выбранных элемента конечной простой группы G порождают ее, стремится к 1 при |G| -> оо.
Более того, Дж. Диксон представил асимптотическую оценку для случая знакопеременных групп Ап, подтверждающую гипотезу.

Случай 1: г = 1. Из доказательства леммы 2.2 мы знаем, что
& — ('УЗт—6; ^Зш) ^Зш—5> ^Зш—її ^Зт+і);
а значит,
Рі — (^Зш—8) ^Зт—2; ^Зт—4і З/3ті ^Зт+і) і
02 — (^Зт-7) г’Зш-Ь Щт-З, ^Зт-2, г’Зш+і)-
Из определений а, /Зі, /3% легко видеть, что справедлива следующая диаграмма:

ЗЗЗш-

З/Зттг—
З/Зт-З

З/Зт-в
З/Зш+
З^Зт—
З/Зтп—
3/
З/Зтп
Диаграмма 2.1. Транзитивность действия группы перестановок (а, /Зі, Дг) иа Д ПРИ г —
Из диаграммы 2.1 следует, что (а, Д, ДД — транзитивная группа перестановок степени 10 = |Д|. Кроме того, она содержит цикл длины 7:
(аА)3(а/^2)3(А/52)3 = (з/Зт-Зі З/Зш-7, г>зт+1, З/Зт-6, 3?зт_2, 3/зт-5, З/Зт-і)-
Следовательно, в силу леммы 1.2, группа (а, ДьА) является примитивной группой степени 10. Для завершения доказательства в случае г = 1 нам осталось заметить, что группа содержит цикл длины 5, и применить лемму 1.3.