Приложение метода оптимальных коэффициентов к численному решению уравнений в частных производных

• Автор: Книжнерман, Леонид Аронович
• Шифр специальности: 01.01.06, 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1980
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 c. : ил

В [13] Н.М.Коробов предложил метод численного интегриГ"* °*~

рования функций класса Es / S - целое положительное, cL > J - вещественное/, т.е. функций, определённых на единичном кубе &s — , коэффициенты Си^

классического ряда дурье которых

^ г +... + И50С5)

ч и^...и5 С

и-ъ-,и5 = -~>

удовлетворяют неравенству

I С’ И-7-. и5 I ^ ... И5) ?

где А2/ = ууьсооо (4, lui) и Л не зависит от .

Н.М.Коробов построил кубатурные формулы с помощью сеток, узлы которых получаются из теоретико-числовых соображений. Погрешность приближённого интегрирования функции £ класса В £ с помощью замены интеграла средним значением в узлах оптимальной параллелепипедальной сетки на р узлах есть величина

очр--1 WP ), (

где V не зависит от р и В ■ Оценка (I) на классе Е^ при любом выборе сеток может быть улучшена лишь на логарифмический множит ель.
Предложенный метод был назван методом оптимальных коэффициентов /"оптимальные коэффициенты" - некоторый набор целых чисел, определяющий сетку/; он изложен в [16],
[17] •
Ряд работ по теории оптимальных коэффициентов и её приложениям принадлежит Н.С.Бахвалову /см. Lï], И/.

Рассмотрим класс Н5 / о(>2. - целое/ функций £ , определённых на и таких, что производная
и$)
4- о4 »*•
'К1 ... х^
и подчинённые ей существуют и непрерывны на /вплоть
до границы/. Реализуя одно замечание Н.Н.Ченцова И. И.Ф.Шарыгин [39] расширил область применимости метода оптимальных коэффициентов до класса И5 , предложив периодизирующую замену переменных, преобразующую непериоо£ —
дическую функцию класса Н5 в функцию класса Ез • Вопросами периодизации занимались также Н.С.Бахвалов и
Н.М.Коробов.
В. С. Рябенький [29] и С.А. Смоляк [32[| показали, что оптимальные коэффициенты могут быть применены при аппроксимации функций класса Е^ . В работе [29] предложено
л Тприближенно ВЫЧИСЛЯТЬ коэффициенты Фурье функции методом оптимальных коэффициентов и определять аппроксимирующий тригонометрический многочлен £ равенством
г -С е"1 + > (2)
И,-..И^Гр

где “ полученные указанным способом приближённые коэффициенты Фурье. При этом требуется знание значений £ лишь в узлах оптимальной параллелепипедальной сетки.
Распространяя естественным образом определение класса Н_5 на ограниченные замкнутые области в Ц? , В. М. Солодов [34], используя оптимальные коэффициенты, построил для функций класса , производные которых известны,
кубатурные формулы на некоторых областях, отличных от &-$ . Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром,

задающим сжимающий интегральный оператор, можно, как известно, решать методом итераций. В [15] Н.М.Коробов предложил считать возникающие при этом интегралы на кубах (х5 /с растущим 5 / с помощью оптимальных коэффициентов. В [14] для случая, когда интегральный оператор не является сжимающим, построен коллокационный метод со слоями ядра в качестве базисных функций и с точками оптимальной параллеле-пипедальной сетки в качестве узлов коллокации.
При решении методом итераций интегрального уравнения Вольтерра второго рода приходится считать интегралы
■X *1
docA сЬоС}_. I И^)Асс
О о о
по многогранникам специального вида /К - ядро/. В этом случае Ю.Н.Шахову £401» [411 удалось построить теоретико--числовые кубатурные формулы, не использующие производных заданных функций.
Теоретико-числовые методы аппроксимации, решения интегральных уравнений и нахождения собственных значений интегральных операторов исследовались также в [91, [22], [27], [42], [451, [46], [47].
В [1б], § 12, приведён пример применения оптимальных коэффициентов к приближённому решению уравнений в частных производных. Собственно говоря, в [16] решается не какая--нибудь краевая задача, а ищется периодическое решение Уравнения Пуассона с периодической правой частью. Правая часть заменяется аппроксимирующим тригонометрическим многочленом В.С.Рябенького, после чего легко вычислить приближённые коэффициенты Фурье решения /кроме коэффициента с нулевыми индексами, который остаётся свободным/.

= 21 л-0-имРим (*,«),
минимизировался квадрат нормы невязки
В качестве решений были взяты две целых плавно меняющихся функции, функция с особенностями и целая, но осциллирующая функция. В таблице указаны погрешности в нормах С и .х
решение 0= рв 45-9^ а^'1Ч)р=г52Ч
СМ ОС <Ж>^ Ц-М10, я-ю~10 1-'10'1с) 5Ч0~11
%-4о~ б-м~10
1/Ы-*) + 4Крд.) ъ-40~* , Л-'/С"8,
'шлкияяу' 1-чо~ б. >/о~5 г-чо-6,1-40
время счёта: 6 мин. 8 мин.
Величина погрешности хорошо согласуется со скоростью сходимости ряда Фурье - Лежандра для решения, т.е. метод реагирует на гладкость решения. Разностные схемы /см. [6] / и метод конечных элементов /см. [28]/ таким качеством не обладают. Результаты численных экспериментов вполне соответствуют утверждениям, высказанным в [33], гл. 19, [43], [44], о том, что методы разложения /в частности, использующие ортогональные многочлены/ при благоприятных обстоятельствах дают очень быструю сходимость.
Для сравнения были проведены эксперименты по нахождению