Расщепляемость расширений конечных разрешимых групп

• Автор: Кохан, Николай Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Гомель
• Количество страниц: 91 c. : ил

ГЛАВА I. ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ

И ИЗВЕСТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

§ I. Обозначения и определения

§ 2. Формулировки известных результатов

ГЛАВА II. О СУЩЕСТВОВАНИИ ДОПОЛНЕНИЙ

К НОРМАЛЬНЫМ ПОДГРУППАМ

§ 3. Подгруппа Картера и дополняемость

нормальных разрешимых подгрупп

§ А. Свойства пронормальных и абнормальных подгрупп и дополняемость нормальных

подгрупп

ГЛАВА III. О СВОЙСТВАХ ДОПОЛНЕНИЙ И ДОБАВЛЕНИЙ

К НЕКОТОРЫМ НОРМАЛЬНЫМ ПОДГРУППАМ
§ 5. О расщепляемости расширений конечных
сверхразрешимых групп
§ 6. Фраттиниевы пересечения и существования дополнений и добавлений в конечных
группах
Глава IV. НОРМАЛИЗАТОРНЫЕ УСЛОВИЯ И СУЩЕСТВОВАНИЕ
ПОДГРУПП ТИПА КАРТЕРА
§ 7. Свойство нормализаторного условия
для ^-разложимых и ^-специальных
подгрупп
§ 8. О рациональных и действительных
группах
ЛИТЕРАТУРА

Важнейшим в теории конечных групп является направление, связанное с вопросами существования и вложения подгрупп, выявления взаимосвязей между ними и влияния их строения на строение группы.
Одним из самых содержательных результатов в теории конечных групп несомненно является, ставшая повседневным и незаменимым средством исследования, теорема Силова о существовании, сопряженности, вложении и числе подгрупп, порядок которых есть степень простого числа.
В своей монографии [ I ] С.А.Чунихин пишет: ,т Значение теоремы Силова для теории групп как одного из самых основных инструментов исследования трудно переоценить - достаточно лишь представить, как мало осталось бы от современной теории конечных групп при условии отсутствия в ней этой теоремы". Теорема Силова получила своё развитие в работах таких известных специалистов по теории групп как Ф.Холл [ 2,3 Д , С.А.Чунихин {4-12 ] , Г.Виландт [_13,1Д] . В этих работах заключения теоремы Силова переносятся на подгруппы более сложной структуры - холловские подгруппы. Среди многих глубоких исследований, выполненных различными алгебраистами и связанных с отмеченными теоремами Силова, Ф.Холла, С.А.Чунихина важное значение имеет результат Р.Картера [15] о существовании и сопряженности нильпотентных абнормальных подгрупп в любой конечной разрешимой группе.
Этот результат оживил изучение подгруппового строения конечных групп (см., например, работы [16 ] , [17*] , [18] ,

[ 19 ^ ). Различные аспекты использования этой теоремы показаны в монографии Б.Хупперта [ 20
Классическая теорема Шура-Цассенхауза о существовании и сопряжённости дополнений к нормальной холловской подгруппе в конечной группе породила ряд интересных результатов о дополняемости нормальных подгрупп. Среди них в первую очередь следует отметить следующую теорему В.Гашюца [21 3 I
Нормальная абелева подгруппа <2А. дополняема в конечной группе 0- , если для всех р подгруппа 0-р ГЛ дополняема В Рр
Эта теорема вошла в монографии [22] и [23] . На Эдинбургском математическом конгрессе в докладе Г.Виландта [24-3 отмечалась важность устранения условия абелевости дополняемой подгруппы в теореме Гашюца. Результат Гашюца в свою очередь вызвал появление интересных работ [ 25,26,27,28 ] , в которых ослабляется, либо заменяется другими условиями условие абелевости дополняемой подгруппы.
В работе [_29 3 Е.Шенкман доказал существование и сопряжённость дополнений в конечной разрешимой группе 0- нильпотентной длины 2 к её наименьшей нормальной подгруппе ц- ,

фактор-группа по которой нильпотентна, в случае когда ч~ абелева. Г.Хигмен [.30 ] обобщил эту теорему на случай разрешимых групп произвольной нильпотентной ДЛИНЫ П . Р.Картер [31 ] установил связь между факторизационными теоремами Шенкмана и Г.Хигмена и теорией системных нормализаторов разработанной Ф.Холлом в [ 32
В диссертационной работе исследуется связь между свойствами подгруппы Картера нормальной разрешимой подгруппы группы и

подгруппа из Т~1 пронормальна в группе Q , то
с, =л^(з-0 „ лл^(я)
Доказательство. По лемме 4.3 -5/ пронор-мальна в группе Q- . По лемме 4.1 снлл^(д)
Так как абнормальна в Л , то
Поэтому
Лемма доказана.
Теорема 4.1. Пусть JL ^ Q , Л - (р-диспер-сивная абнормальная подгруппа в Л . Если все силовские подгруппы из ЗІ пронормальны в группе Q , а
, тогда А, обладает дополнениями в , принадлежащими JVq. (34) и каждые два таких дополнения сопряжены в лГсДэО • -1
Доказательство. По лемме 4.4 Q- - Л -^4(^0 и ХГ(в) = Л . Поэтому
Отсюда І4/-ЛІ = |Х,(зО/Я| . Так как по условию
CIQ/AI, 1ЭП) = I . 1Я1)а .
Таким образом ~А является нормальной холловской подгруппой * л^О). По теореме Шу ра-Цас с енхау з а подгруппа J-
обладает дополнениями в лґ<-(зО и каждые два таких дополнения сопряжены в . Пусть некоторое дополнение к Л в j/оДз-О, i.e. ^ .
Так как Q = Л У^(в) * І(ЯЛЧ5) = JL лЯЬ ,10 подгруппа ‘'D есть искомое дополнение К Л в группе Q Теорема доказана.
Следствие. Нормальная подгруппа Л обладает дополнением в группе , если её ^ -дисперсивная