О распределении значений L-рядов Дирихле

• Автор: Преображенская, Татьяна Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с.

Глава 1. О расстоянии между соседними нулями Г-функции Дирихле, лежащими на критической прямой
§1. Функция Zx{t)
§ 2. Преобразование формулы для Zx{t)
§ 3. Основная теорема
Глава 2. О существовании малых значений дзета-функции Римана и Г-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой
§ 1. О существовании малого значения дзета-функции Римана
на коротком промежутке критической прямой
§2.0 существовании малого значения Г-функции Дирихле на
коротком промежутке критической прямой
Глава 3. О постоянной в оценке числа последовательных
квадратичных вычетов
§ 1. Новый вариант неравенства Дэвенпорта—Эрдёша
§ 2. Леммы из теории диофантовых приближений
§ 3. Основная теорема
Список литературы
Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования является распределение значений Г-функций Дирихле с характером по модулю, равному степени простого нечетного числа, на критической прямой. Эти функции для произвольного модуля к ввел в 1837 г. Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Дирихле доказал, что в любой арифметической прогрессии Ь, Ь + тп, Ь + 2т, ..., где (т, Ь) = 1, имеется бесконечно много простых чисел. В полуплоскости Res > 1 Г-функции Дирихле задаются равенством
где х ~ характер по модулю к.
Теория Г-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей Г-функций Дирихле.
Вопрос о расстоянии между соседними нулями Г-функций, лежащими на критической прямой, рассматривается в первой главе диссертации. Отметим, что подобную проблему для дзета-функции Римана исследовали Г. Харди, Д. Литтлвуд, Я. Мозер, A.A. Карацуба.
Г. Харди ввел в рассмотрение действительную функцию Z(t), задаваемую равенством:
£(() = в'»«? (|+«).
где е'”« = !Г-“'Т (1 + |) |Г (I + |) I”1.
Поскольку модуль функции Z{t) равен модулю дзета-функции на критической прямой, то оценка |£ (| + й) | свелась к оценке |Я(£)|.
Для решения обозначенной проблемы функцию Харди было удобно представить в следующем виде (формула Римана-Зигеля):
=2 £ с°^(гуо§п)+о(г»/ч081),
П^л/1Т(27г) где
т=«,(<)+ли, «„{о=*1ов-1-1, д(«) = о0.
В 1918 Харди и Литтлвуд [1] доказали, что при Т ^ Л)(е) > 0 и Я ^ т11А+е промежуток (Т, Т + Я) содержит нуль нечетного порядка функции Z(i). В работе 1976г. Я. Мозер [11] показал, что можно взять Я ^ Т1/&о^Т. В 1981 г. А. А. Карацуба [13] доказал это утверждение при Я ^ Т5/321оё2Т.
В настоящей диссертации для исследования вопросов, связанных с распределением значений Г-функций Дирихле на критической прямой, вводится в рассмотрение действительная функция
ад = е“('Д
где 0(£) = tlog уЛ — | — | + С(1а, сдх — некоторая константа, зависящая от с? и х- Формула для Zx(t) получена из приближенного функционального уравнения А.Ф. Лаврика [17] для Г-функций Дирихле и является
Глава
О постоянной в оценке числа последовательных квадратичных вычетов
В этой главе рассматривается задача об оценке максимального числа Н последовательных целых чисел, таких, что все они являются либо квадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами по модулю простого числа р.
Определение 3.1 (см. [6]). Если сравнение х2 = a (mod т), где (а, т) — 1, т > 2, имеет решение, то а называется квадратичным вычетом по модулю т. В противном случае а называется квадратичным невычетом.
Определение 3.2 (см. [6]). Пусть а — целое число, р — простое, (2а, р) = 1. Символ Лежандра определяется следующим образом: = 1, если а — квадратичный вычет по модулю р, и = — 1, если
а — квадратичный невычет по модулю р.
В 1918 г. Г. Пойа [20] и И. М. Виноградов [7] получили неравенство
<Р1/2 bgp,
п£Х