Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных алгебр

• Автор: Елисова, Анна Петровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 68 с.

Содержание

Введение

1 Локальные дифференцирования и локальные автоморфизмы алгебр

1.1 Общие свойства и постановка основных задач

1.2 Редукционные теоремы для алгебры R = NT{n} К)

1.3 Редукция для ассоциированной алгебры Ли (п > 4)

1.4 Примеры нетривиальных локальных дифференцирований и автоморфизмов алгебры R

1.5 Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр R и A(R), R = АТ(3, К)

2 Локальные дифференцирования и автоморфизмы алгебр R и A(R) при п = 4 над полем

2.1 Группы Laut R и Locder R, R = NT(4, К)

2.2 Нетривиальные локальные лиевы дифференцирования и автоморфизмы
2.3 Группы Laut А(Д) и Locder А(Д), Д = ЛГГ(4, А")
Список литературы

Введение
Изучение автоморфизмов и дифференцирований алгебр и колец имеет очень давнюю историю, [1], [5]-[8], [15], [19], [22] и др. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр стали систематически изучаться с 90-х годов. Напомним, что локальный автоморфизм алгебры А - это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент а £ А как некоторый автоморфизм алгебры А, зависящий, вообще говоря, от а.
Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования; последние, как известно, образуют кольцо Ли, обозначаемое через Der А. Далее, Laut А - совокупность локальных автоморфизмов, а Locder А - совокупность локальных дифференцирований алгебры А.
D. Larson и A. Sourour [20] доказали, что автоморфизмы и антиавтоморфизмы комплексной матричной алгебры М(п, С) исчерпывают ее локальные автоморфизмы. Дифференцирования кольца М(п,К) над коммутативным кольцом К с единицей исчерпывают локальные дифференцирования, [24]. Близки к тривиальным также локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования параболических (в частности, треугольных) подалгебр в М(п,К), [10], [16], [18], [24]. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил R. Crist [11] для подалгебры треугольных

матриц в М(3, С) с попарно совпадающими элементами на каждой диагонали.
Проблемы описания локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований исследовались для полупростых Банаховых алгебр, операторных алгебр, супсралгебр и др., [9], [11]-[14], [17], [23], [26] - [28].
К классическим нильпотентным алгебрам относится алгебра NT(n,K) нижних нильтреугольных п х п матриц над К, то есть матриц с нулями на главной диагонали и над ней; когда К - поле, ее автоморфизмы еще в 1952 году описали R. Dubish и S. Perils. Пусть К - произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. В 1983 году в [4] описаны автоморфизмы алгебры R — NT(n, К), а также ассоциированной с ней алгебры Ли А(Я); описание Der R и Der A(R) дано в [21], [25].
Открытыми остаются следующие вопросы.
Проблема (А). Выявить нетривиальные локальные автоморфизмы алгебр R, Л(R) и описать Laut R, Laut А(R).
Проблема (Б). Выявить нетривиальные локальные дифференцирования алгебр R, A(R) и описать Locder R, Loader A(R).
Цель диссертации - исследовать проблемы (А) и (Б).
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 40 наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

д~ектР + (—, P + /32 — /З3 + ...)e/m + (—/3 + /32 — /33 + ...)e/TO/3.
Поскольку матрицы в/т/3 И (—/3+/32—/33 + --.)еЬ(1 могут иметь ненулевые элементы только в к-и строке и в т-м столбце, соответственно, то к = п или т — 1.
Пусть т = 1пЗ<к<п. (Случай к = п, 1 < т < п — 2 исследуется аналогично.) Тогда e/i + е/2 £ i?2 и
(1 + ¥?А:1,£) (еА-г + е/2) = (е/л + е/2) + ie„i
= (е — /3 + (З2 — /З3 + ...)(едл + е/,2 ) (е + /3)
= (efci + ек2) + (е/1 + е/2)/3 + (—/3 + /З2 - ...)(eju + е/2)+
(—/3 + /З2 — ...)(e/i + efc2)/3.
Отсюда вытекают равенства
21 е/l = 0, £е„1 = (—/3 + /З2 — /З3 + ...)(е/! + е/2) = b'nk(en 1 + еп2) и поэтому t = b'nk = 0. □
Существование в исключительных случаях устанавливаются в следующих двух леммах.
Лемма 1.4.3. Если t £ К и Kt единственный минимальный ненулевой идеал кольца К, то и tp,w-2,i (п > 3) есть локальные
дифференцирования алгебры R.
Доказательство. Укажем для каждого элемента а = ||аиг)|| £ R дифференцирование ipa £ DerR такое, что
ipa(a) = и(а) ~ а31еп1-