Некоторые экстремальные многообразия алгебр Лейбница

• Автор: Скорая, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 101 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Линейные алгебры и их многообразия
1.2. Некоторые сведения из теории представлений
симметрических групп
Глава 2. Об экспонентах подмногообразий
многообразия
2.1. Строение элементов полилинейной части многообразия зN
2.2. Целочисленность экспонент подмногообразий
многообразия зИ
Глава 3. Подмногообразия почти полиномиального роста
многообразия зН
3.1. Свойства многообразия зN
3.2. Известные подмногообразия почти полиномиального роста многообразия зN
3.3. Полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия зИ
Литература

Введение
Устоявшимся направлением исследований современной алгебры является изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений. Алгебры Лейбница с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Лейбница выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных алгебр и некоторые другие.
Вероятно, впервые класс алгебр Лейбница был определен в работе [7]. Однако свое название он получил позже. В начале исследования этого класса линейных алгебр их называли алгебрами Лодея. Начиная с 1993 года алгебры Лодея были введены под названием алгебр Лейбница как некоммутативные аналоги алгебр Ли. Название они приобрели в связи с выполнением в них тождества Лейбница. Они появились для естественной связи с некоторыми темами, такими, как дифференциальная геометрия, классическая алгебраическая топология и т. д., для обобщения соответствующих приложений алгебр Ли к этим темам.
Алгебры Лейбница начали активно изучаться в начале 90х годов. Свободная алгебра Лейбница была описана Лодеем и Пирашвили.
Объектом исследования данной работы являются многообразия алгебр Лейбница и их подмногообразия, полилинейные компоненты указанных объектов, а также их числовые характеристики.
Исследование экстремальных многообразий алгебр Лейбница является предметом исследования. Говорят, что многообразие V экстремально по отношению к некоторому свойству, если само многообразие им не обладает, но любое его собственное подмногообразие обладает этим свойством.
Целью диссертационной работы является исследование пространства полилинейных элементов многообразия левонильпотентных ступени не вы-

ше трех алгебр Лейбница; изучение асимптотики последовательности коразмерностей вербального идеала собственного подмногообразия многообразия 3]Ч; рассмотрение многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста, удовлетворяющих тождеству хууугЬ)) = 0.
Прежде чем обратиться к понятию алгебры Лейбница, рассмотрим линейную алгебру Ф(А') над полем Ф нулевой характеристики с зафиксированным счетным множеством свободных образующих X. Если для любых элементов 7~1, Г2,гп из произвольной Ф-алгебры Я и для некоторого элемента / = /(жь Х2, , хп) из алгебры Ф(Х) выполнено условие /(тц, г2
Все неопределяемые понятия можно найти, например, в монографии [6].
Алгеброй Лейбница называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество:
(ху)г = (хг)у + х(уг).
Согласно этому тождеству умножение справа на элемент алгебры становится дифференцированием этой алгебры. При условии выполнения тождества антикоммутативности
ху = -ух,
тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби:
х(уг) + у(гх) + г(ху) = 0.
Поэтому, если в алгебре Лейбница выполняется тождество хх = 0, то она является алгеброй Ли. В частности, любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница. Обратное неверно.

Поменяем местами в этом элементе соседние переменные с номерами, не превосходящими п. Получим следующее тождество:
X1 Х2... ,ХпХХ2 “ХХ- Хт — ХХ2 <ХХ{...ХпХХ2 -Х<1--Х{Хгп.
При таком преобразовании рассматриваемого элемента его знак остался прежним. Таким образом, если элемент содержит одни и те же переменные, входящие в два или более кососимметрических набора, то его знак зависит от четности перестановок неявным образом. Следовательно, мы уже не можем говорить, что переменные данного элемента кососимметри-зованы. Поэтому для удобства читателей в случае, если элемент содержит более одного набора одинаковых кососимметризованных переменных, договоримся называть наборы в этом элементе альтернированными.
Рассмотрим другие преобразования элементов во введенных обозначениях, которые будем использовать в дальнейшем:
Применим к элементу
ХХ2.. 3>г'г+1
тождество Лейбница:
X 1Х2.-ХХх...Хц == ХХ2.-Хг+Х‘1...Хп “1” XХ2..(.Т7Х7-|-1)..-Хп.
Учитывая зависимость знака стандартного полинома от четности перестановки, это тождество можно записать в виде:
Х1Х2-.-ХгХг+1...Хп = -Х{Х2. .Шгг+Ь -гп + Х2..(х-ц)..Хп.
Отсюда получаем:
2л1Х2...Хг+1...Хп = Х1Х2...(Х;ХШ)

х1х2...х1хм...хп = ±х1х2...(хгхм)...хп.