О представлении конечных колец с единицей

• Автор: Финкальштейн, Михаил Янкелевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 c. : ил

СОДЕШШИЕ
Введение»

Глава I. Треугольное. представление конечных колец с единицей

§1. Треугольная: представимость колец и треугольное

произведение пар

§2. Треугольная представимость конечного кольца с единицей

матричными кольцами над кольцами Галуа

§3. Кольца, представимые факторами, кольца обобщенно-треугольных матриц над ериксированнЕМ. матричным кольцам.

над кольцом. Галуа

Глава 2. Представление конечных колец с единицей, кольцами

матриц Селе над кольцами Гатуа

§1» Строение бимодулей, над конечными кольцам с единицей
§2. Представление конечного кольца матрицами Селе
Глава 3. Сложность колец и модулей
§1. Псевдорадикал Галуа. Определение сложности
§2. Сложность модули над кольцом и над подкольцом. Соотношение. сложностей родственных колец
§3. Сложность модуля, над кольцом и над подкольцом. Соотношение сложностей родственных колец (продолжение)
§4. Кольца сложности два
Литература

В последнее время возродился интерес многих исследователей вг одной из самых старых областей алгебры - теории конечных колец. Так в 1974 году Макдональдом была выпущена монография [22] , посвященная конечным кольцам с единицей. В большой серии работ (см., пацример, [6]- [а], [17], [21] ) изучаются многообразии конечных колец и критические кольца этих многообразий. При этом отыскание критических объектов базируется как правило на сведениях о строении соответствующих колец и, таким образом, эти исследования стимулируют, развитие структурной теории конечных колец.
Эта теория в свою очередь подразделяется на два направления. Задачей первого из них является описание всех конечных колец (или каких-то достаточно богатых подклассов) в качестве подобъектов или гомоморфных образов некоторых полностью изученных колец. Такой тематике была посвящена работа Селе [24], в которой доказана теорема о вложении любого конечного кольца с единицей в. специальным способом, сконструированное кольцо матриц, названных впоследствии матрицами Селе. Позднее это вложение было уточнено в серии работ Уилсона. [25] - [27], К тому же направлению относятся некоторые теоремы книги [22J , в которых конечные кольца:, с единицей описываются как. гомоморфные образы колец многочленов над кольцами Галуа.
Задачей второго направления структурной теории является полное описание объектов, принадлежащих исследуемому классу.
Здесь можно отметить работы A.A. Нечаева [э], [10] , посвященные конечным, кольцам главных идеалов, статью В.Г. Антипкина и

В.ГГ. Елизарова [2] , где перечислены все кольца порядка р3 для простого числа р , а также результаты В.А. Ратинова (см.
[14] - [ГБ ] ), из которых вытекает описаше некоторых классов конечных колец.
В данной работе конечные кольца с единицей представляются эндоморфизмами, модулей над кольцом Галуа, а затем на основании этого представления изучается строение конечных колец.
Следующие результаты диссертации, являются основными:
1). Доказано, что любое конечное кольцо с единицей, является собственным фактором (т.е. факторкольцом подкольца) кольца обобщенно-треугольных матриц, на диагонали которого стоят кольца, матриц над кольцами Галуа [ю] . Найдены конечные кольца, для которых любое такое представление тривиально.
2). Доказывается теорема о вложении конечного кольца с единицей в. прямую сумму колец, каждое из которых является кольцом нижнеблочнотреугольных матриц Селе [24] над кольцом Галуа.
Этот результат обобщает основную теорему Уилсона [27]
3). Вводится понятие сложности конечных модулей и колец. Исследуются свойства сложности модулей при замене колец. Описываются кольца сложности два.
Приступим к более подробному изложению результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.
В первой главе, состоящей из трех параграфов, изучается представление конечного кольца с единицей в качестве, собственного фактора кольца обобщенно-треугольных матриц; Напомним, что кольцо *5" называется кольцом обобщенно-треугольных матриц, если
/У 0) „ ,
оно изоморфно кольцу [М 5Т, где 5 и ю - кольца, а

л(Ец)я і" (міЕи,
то гомоморфность отображения 4у а выполнение, условия. ( 17 ) проверяются непосредственно.
Построение. У проводится аналогично. Надо только заметить, что. поскольку , то, как и в предыдущем случае, можно
считать, что
%'л є 02 (р(, п/р‘С/2ір *г) = С(2(р( у.
Кроме того, из руМл-0 следует, что
Ел=0’
откуда.
Ч'іі ер*'гСЕ(р‘, г), а
Теорема. 2,2,2, Пусть Е — конечное кольцо с единицей, /1 -= М„(СІі!(р‘ г)) н/И-/?-У1 бимодуль. Тогда
£рьо/у^(М)~ кольцо матриц Селе над кольцом Галуа &Е(р , допускающее, такое, разбиение на блоки, что гомоморфизм г ■■ Е—~ЕпЛл(М) переводит Е О(Е) в ниж-неблочнотреутольные и строго нижнеблочнотреугольные по модулю матрицы Селе, соответственно.. Если /И - точный. ^ -модуль, то является мономорфизмом.
Доказательство. Пусть 4у' й, д //И I, причем
V(Х)т=ът. кУ?-_Л бимодулю м применима теорема 2.1,1
и, следовательно, ы
7 = 1 '*
откуда