Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых ρ-групп

• Автор: Ройзнер, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление
Введение

1 Основные понятия

1.1 Предварительные сведения об абелевых группах

1.2 Языки и модели второго порядка

2 Прямые теоремы и разделение задачи на случаи

2.1 Доказательство “более легких” импликаций в теореме. .

2.2 Подготовительная работа в группе автоморфизмов

2.3 Подготовительная работа в кольце эндоморфизмов

2.4 Разделение задачи на случаи

3 Ограниченные р-группы.

3.1 Разделение пар инволюций
3.2 Выделение специальных множеств (по Шелаху)
3.3 Специальные множества для случая ограниченных групп.
3.4 Интерпретация группы А для каждого элемента ¥"
3.5 Доказательство первого случая в теореме
4 Прямые суммы делимых и ограниченных 7>групп.
4.1 Сравнение мощностей множеств экстремальных инволюций.
4.2 Доказательство второго случая в теореме
5 Группы с неограниченной базисной подгруппой.
5.1 Сравнение порядков экстремальных инволюций

5.2 Выделение базисной подгруппы
5.3 Выделение формульных множеств в базисной подгруппе .
5.4 Введение структуры на базисной подгруппе
5.5 Интерпретация теорий второго порядка подгрупп В иР .
5.6 Интерпретация логики первого порядка группы А
5.7 Интерпретация ограниченной логики второго порядка группы (
5.8 Интерпретация фактор-группы О/В
5.9 Разложение фактор-группы (7/5 на прямые слагаемые
5.10 Интерпретация логики второго порядка группы А
6 Заключение: критерий элементарной эквивалентности 93 Литература

Введение
Работа посвящена элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых р-групп и ее связи со свойствами второго порядка самих групп.
Две модели U и U' одного языка первого порядка С (например, две группы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение р языка С истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели U'. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле С комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность (для более подробных примеров см. [5]).
Классической книгой по теории моделей (в том числе, и по элементарной эквивалентности) является книга [5]. Подробным обзором 1984 года результатов по элементарной эквивалентности и смежным вопросам является обзор [11] В.Н. Ремесленникова и В. А. Романькова “Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп”. Более новые результаты включены в обзоры Е.И. Буниной и A.B. Михалева [17] и [18], а также — в обзор В. Гоулда, A.B. Михалева, Е.А. Палютина, A.A. Степановой [2]. Справочным материалом по теории моделей могут служить книги [13], [3], [10], [12]. Испытательным полигоном для большинства результатов теории моделей служат алгебра, теория чисел и анализ. Среди многочисленных книг и обзоров по приложениям теории

2) VwiVit2Vu3((ui, u2) E x А {щ,и3) E x => u2 = u3))
3) /щ/и2/из/щ({щ, Us) E XA(u2,Ui) E X => (U+U2,U3+Ui) £ x).
Таким образом, последовательность ai,...,aq, па которой должна
выполняться формула р в модели End (Л), —' это последовательность множеств пар элементов модели А, удовлетворяющих условиям 1) 3).
Установим тождественную биекцию между элементами модели End (А) и соответствующими множествами пар модели А. Пусть при этой биекции элементу щ модели End (/1) соответствует множество А{ С А х А.
1. Если формула р имеет вид Xi = xj, то выполнимость формулы р на последовательности /ц,..., aq означает, что сц = aj, т. с. щ и a,j
совпадающие эндоморфизмы модели End (/1), а множества А; и Aj состоят из одних и тех же элементов, т. е. в модели А на последовательности А,..., Aq выполнена формула
УУ1УУ2(РХ,Ы,У2) PXj(yi,y2))-
2. Если формула р имеет вид х,; = xj + Хк, то выполнимость формулы р на последовательности a,...,aq означает, что щ = aj + а к, т. е. эндоморфизм щ есть сумма эндоморфизмов aj и а*,, а это означает, что в модели А для каждого элемента 6 Е А и для каждых /ц, b2, 63 Е А таких, что (6,61) Е A*, (b,b2) € Aj, (6,63} Е А*,, мы имеем 61 = 62 + b3 (т. е., формально говоря, (bi,b2,b3) Е I(Qf)). Это и равносильно выполнимости в модели А формулы р.
3. Если формула р имеет вид :с,; = Xj • х/с, то выполнимость формулы р на последовательности a,...,aq означает, что а* — а?- • а^, т.е. эндоморфизм at есть композиция эндоморфизмов aj и щ, а это означает, что в модели А для каждого элемента Ь £ А и для каждого Ь2 Е А такого, что (61,62) £ А*, существует Ъ3 Е А такое, что (61,63) Е Aj и (63,62) Е А*,. Это и равносильно выполнимости в модели А формулы р.
4. Если р имеет вид 0 А в2, 0 и в2 выполняются в модели End (А) на последовательности a,...,aq тогда и только тогда, когда 0 и в2 вы-