Группы, насыщенные конечными неабелевыми группами и их расширениями

• Автор: Филиппов, Константин Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 68 с.

1 Используемые результаты

2 Группы, насыщенные центральными расширениями Ь2(о)

2.1. Периодические группы, насыщенные 5Х2(<7)

2.2. О группах, насыщенных Ь2{Ка) х Z2

2.3. О группах Шункова, насыщенных Ь2(2П) х22

2.4. Группы Шункова, насыщенные Ь2(Ка) х Z2

3 Группы, насыщенные 2-группами

3.1. Группы Шункова, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами

3.2. О периодических группах с конечной силовской 2-подгруппой, насыщенных конечными простыми 2-группами

3.3. Группы Цассенхауза с бесконечной силовской 2-подгруппой

4 Группы, насыщенные различными множествами групп

4.1. О локальной конечности некоторых групп, насыщенных группами диэдра 57 Список литературы
Публикации автора по теме диссертации
Группа (7 насыщена группами из множества групп 91 если любая конечная подгруппа К из (7 содержится в подгруппе группы (7, изоморфной некоторой группе из 91 Пусть группа (7 насыщена группами из множества 91 и для любой группы I £ 91 8 С найдется подгруппа Ь ~ X. В этом случае множество 94 называется насыщающим множеством групп для (7.
Понятие насыщенности впервые появилось в работах А.К. Шлеп-кина [42-51] и было обусловлено следующими двумя причинами.
1. Различные конструкции периодических нелокально конечных групп [1-3,11.13,14.25-31,33,39,40] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. Однако, сразу выявилась характерная особенность этих конструкций. Это были как правило, р-группы, или группы, полученные из них при помощи различного рода расширений, т.е. непростые группы. Не особенно разнообразной была и структура конечных подгрупп в этих группах. Например, в группах Ольшанского [27-31] это были в точности циклические группы.
2. При изучении групп Шункова с условием примарной минимальности А.К. Шлёпкиным [46] анализировался контрпример с заданными периодическими простыми подгруппами и системой конкретных конечных простых неабелевых подгрупп. Все такие группы оказались локально конечными. Но, естественно, возник вопрос, а существуют ли периодические не локально конечные группы, в которых структура конечных подгрупп была более „простой“, чем в конструкциях [1-3,11,13,14,20,21,24,26-31,33,39,40] (в том смысле, что указанные

группы содержали бы конечные простые неабелевы группы, в отличие от групп Ольшанского, в которых любая конечная нетривиальная подгруппа является циклической простого порядка). Следующий вопрос поставлен А.К. Шлепкиным.
Вопрос. Существуют ли простые, периодические не локально конечные группы содержащие конечные простые неабелевы подгруппы?
Как оказалось, насыщенность является естественным обобщением покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [17,18]. В конце 60-х годов П.Г. Конторович,
A.C. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [19]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [19]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [4] и независимо A.B. Боровик [5], С. Томас [60], Б. Хартли и Г. Шют [59] доказали следующую теорему:
Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, содержащим множество подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.
Напомним понятие локального покрытия. Множество подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = [J X, и для
XeStrt
любого X,Y е Ш в найдется элемент Z, такой, что X С Z и Y С Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Примеры периодических не локально конечных групп, насыщенных заданными множествами конечных групп, хорошо известны. Так группы Новикова-Адяна В(т,п) для нечетных п [26] насыщены одной циклической группой порядка п. Примеры периодических групп без инволюций,

нечной, простой группой, изоморфной группе Судзуки Sz(Q) над локально конечным полем характеристики 2, не содержащим подполей порядка 4 (предложение 28).
По построению группы L подгруппа ВПЬ содержит представителей всех смежных классов Shi, г = 1,2 а отсюда BilL содержит полную систему представителей множества смежных классов В/S. Теперь из леммы 27 следует включение Z(S) < ВГЬ. Воспользовавшись описанием подгруппы Бореля в Sz(Q), получаем, что В П L содержит некоторую подгруппу, сопряженную с Н. Без ограничения общности можно считать, что Н < L.
Группа HZ(S)jZ(S) действует сопряжениями транзитивно на множестве неединичных элементов группы S/Z(S). Действительно, если cZ{S), dZ(S) — различные неединичные смежные классы из S/Z{S), то группа К = (с, d) конечна и, по условиям теоремы, К < М < G, где М ~ Sz(q). Из леммы 27 следует, что Si = М П S — силовская 2-подгруппа в М и пусть Т = Nm(Si). Так, по предложениям 24, 25 TjZißi) является группой Фробениуса, с ядром порядка q и неинвариантным множителем V порядка д-1 и 1/ действует на Si/Z{S) транзитивно. Следовательно, chZ(S) = dZ(S) для некоторого h Е В П М и HZ(S)/Z(S) действует на множестве неединичных элементов факторгруппы S/Z(S) транзитивно. Очевидно, что в S П L имеются элементы из SZ(S). Поскольку HZ(S) < L и HZ(S)/Z(S) действует на S/Z(S) транзитивно, выполняется S < L.
Лемма 32. Пусть L — группа, как в лемме 31, Н — ее подгруппа Картана, а — произвольный неединичный элемент из Н. Тогда Nc{{a)) — Ng{H) обладает периодической частью N, и N = АД(Д) = HX(t), где t — инволюция и аь = а-1.