О максимальных абелевых подгруппах группы треугольных матриц над произвольным полем

• Автор: Князева, Вера Федоровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Харьков
• Количество страниц: 147 c. : ил

1. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ МАКСИМАЛЬНОЙ АБЕЛЕВОЙ ПОДГРУППЫ А ГРУППЫ I- ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД ПОЛЕМ И РАЗЛОЖЕНИЕ ГРУППЫ А НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОДГРУПП

2. МАКСИМАЛЬНЫЕ АБЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ I- ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ, ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОМ ОДНОЙ МАТРИЦЫ
2.1. Максимальные абелевы подгруппы, сопряженные в полной линейной группе с диагональной

подгруппой D

2.2. Описание всех максимальных абелевых подгрупп, являющихся централизатором одной матрицы

2.3. Инварианты "подгрупп ZCA) над конечным

полем

3. ДРУГИЕ ТИШ МАКСИМАЛЬНЫХ АБЕЛЕВЫХ ПОДГРУПП,

ПОЛУЧЕННЫЕ С ПОМОЩЬЮ ПОДГРУПП Z (А)

3.1. Максимальные абелевы подгруппы группы Cjn , полученные путем параметризации

сопряженных с Z(A) подгрупп
3.2. Максимальные абелевы подгруппы, полученные с помощью операции над подгруппами Z(A)
для подпространств
4. МАКСИМАЛЬНЫЕ АБЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ, ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ
4.1. Максимальные абелевы подгруппы типа пачек
4.2. Инварианты подгрупп типа пачек для случая
конечного поля
4.3. Другие типы максимальных абелевых подгрупп, примыкающих к подгруппам типа пачек
4.4. Другие типы максимальных абелевых подгрупп
группы Qn
ЛИТЕРАТУРА

Работа посвящена исследованию максимальных абелевых подгрупп группы верхних I - треугольных матриц порядка 'П над произ-вольным полем К
Если К - конечное поле, то группа является универсаль-

ной р - группой в том смысле, что любая конечная р - группа изоморфна некоторой подгруппе группы Ц (при подходящем П ).
Изучение абелевых подгрупп группы С представляет самосто-ятельный интерес для теории линейных групп, оно важно также для построения теории представлений абелевых р - групп над полем характеристики р
Абелевы подгруппы группы 6Цп,К) изучались в работах И.Щура /I /, М.Ф.Кравчука /2, 3/, Д.А.Супруненко /4 /. Модернизированное изложение результатов М.Ф.Кравчука содержится в работе /4/.
В случае простого конечного поля К в/5 / и/6 / описаны все абелевы подгруппы максимального порядка группы С , в /7
ТЬ’
абелевы подгруппы максимального порядка в группах Шевалле типа
К > >
над конечным полем К , а в /8 / - абелевы унипотентные подгруппы максимального порядка конечных ортогональных групп.
Мы рассматриваем конструктивные методы построения максимальных абелевых подгрупп группы С , опирающиеся на характеризацию

одного экстремального класса абелевых подгрупп в ^ - групп, явЦ
ляющихся централизатором одной матрицы. Полное описание этого класса максимальных абелевых подгрупп группы дается в главе 2, которая занимает центральное место в этой работе.
Заметим, что задача об абелевых подгруппах группы (? , ко-

торые в являются централизатором одной матрицы, не эквивалентна такой же задаче для группы К) , для элементов которой имеется каноническая форма Фробениуса. Действительно, централизатор в С матрицы может быть абелевым и тогда, когда
7Ъ II*
централизатор этой матрицы в (Д(п, К) неабелев (соответствующие примеры легко указать уже для 71 = 3).
Перейдем к изложение результатов работы.
Результаты первой главы используются в последующих главах. Здесь вводится каноническая форма матриц максимальной абелевой подгруппы А . Эта форма основана на изучении матричных элементов а. (д.) д. е А как функции на максимальной абелевой подгруппе А группы (]п . Группа А устроена следующим образом. В некоторых клетках
(,(,4)
расположены произвольные параметры , ..., <А , а в остальных клетках (А$■) (1 <}) - линейные комбинации
где коэффициенты , ..., - фиксированы для каждой клетки
( , £ ). Клетки, где расположены свободные параметры сГ , можно
выбирать многими способами. Мы используем следующий выбор этих клеток. Установим следующее упорядочение клеток (А А) (<'<£) :
(АД) » если А < А или если А=А но А <
Пусть А - произвольная максимальная абелева подгруппа группы . Тогда следующим образом вводил произвольные параметры А » А » •••* А • Пусть (А 9 А) “ первая из клеток (А*) ,
для которой • (9) =£ О . Тогда параметр оГ записывается в
клетке (А, А) * Предположим, что уже выбраны произвольные параметры <А > А. » •••» ^ » расположенные соответственно в клет-

причем в клетке (ь,^) (1>1) нике элемента <Х расположены нули.
Возьмем самый нижний ненулевой элемент в столбце &л (это будет СС- . ) и с помощью треутольных замен базиса приведем мать1)Эч
рицу А к виду, где правее клетки (%,£,) В 1 - ой строке будут находиться одни нулевые элементы. Выбираем следующий ненулевой столбец, скажем > ^) , и с помощью нижнего ненулевого элемента этого столбца, скажем <Х , треугольным преобразованием
создаем нули в строке к правее клетки (к^ , . так поступаем
со всеми ненулевыми столбцами. При этом каждое последующее преобразование не меняет нулевых элементов ранее преобразованных строк.
Выберем теперь строки с номерами ^ +1, ^+-2,. . .,^-1 , расположенные ниже элемента &. , . Заметим, что столбцы с этими ноV**
мерами - нулевые по условию леммы.
Возьмем 1+1 строку и создадим нули в этой строке самыми нижними ненулевыми элементами всех столбцов, которые содержат ненулевые элементы этой строки. При этом (1+1) - ая строка будет либо нулевой, либо содержать точно один ненулевой элемент, скажем
а. . , причем в столбце с номером ^ ниже этого элемента
Ь+1»^к1 к1
будут находиться только нулевые клетки.
Точно так же поступаем с I л-% , 1 +3, . . . Л-1 строками.
1 * А ' '"
Заметим, что указанные преобразования не меняют нулевых клеток, полученных в предыдущих преобразованиях.
Таким образом, в матрице А после указанных треугольных преобразований в каждой строке I (ь 4 1^ ^-1) будет содержаться не более одного ненулевого элемента, при этом в столбцах, содержащих эти ненулевые элементы, будут находиться только нули.
Обозначим через В подматрицу матрицы А , образованную ее строками с номерами 1 , 1^ +1, . . ., ^ — 1.
Возможны следующие случаи.