Проблема суммирования арифметических функций по числам, свободным от ƙ-ых степеней

• Автор: Орлова, Светлана Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 с.

Обозначения
ГЛАВА I. Функция Эйлера и числа, свободные от £-ых степеней
§1. Вспомогательные утверждения
§ 2. Суммирование значений функции Эйлера на множестве
натуральных чисел, свободных от А>ых степеней
§ 3. Суммирование значений функции Эйлера на множестве
пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое ОТ /-ЫХ
степеней
§ 4. Суммирование значений произведения функций Эйлера
ср{х) и (р (п+1) на множестве натуральных чисел п,
свободных от к-ых степеней
§ 5. Суммирование значений произведения функций Эйлера
<р(п) и (р (п+1) на множестве пар последовательных натуральных чисел п и п+, одно из которых свободно от
к-ых степеней, другое от /-ых степеней
ГЛАВА II. Функция суммы делителей натурального числа и числа,
свободные от к-ых степеней
§1. Вспомогательные утверждения
§ 2. Суммирование значений функции суммы делителей
натурального числа на множестве натуральных чисел,
свободных от к-ых степеней
§ 3. Суммирование значений функции суммы делителей
натурального числа на множестве пар последовательных натуральных чисел, одно из которых свободно от к-ых
степеней, другое от /-ых степеней
§ 4. Суммирование значений произведения функций суммы
делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве
натуральных чисел п, свободных от к-ых степеней
§ 5. Суммирование значений произведения функций суммы
делителей натурального числа о(п) и о(п+1) на множестве пар последовательных натуральных чисел п и п+1, одно из которых свободно от к-ых степеней, другое ОТ /-ЫХ степеней
Литература

Обозначения
N - множество натуральных чисел.
С - поле комплексных чисел.
Р - множество простых чисел. р - простое число.
є - положительная сколь угодно малая постоянная.
Mk - множество всех натуральных чисел, свободных от к-ых степеней, целое к > 2.
logx - натуральный логарифм х.
Запись dn означает, что п кратно d.
Запись а = b (mod пг) означает, что тЬ — а.
Запись А С В означает, что существует постоянное с > 0 такое, что |Л| < сВ. Тот же смысл имеет обозначение А = О(В).
(о, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
[а, 6] - наименьшее общее кратное чисел а и Ь.
[а] - целая часть числа а.
р(п) - функция Мёбиуса от натурального числа п.
ip(ri) - функция Эйлера от натурального числа п.
т(п) - количество натуральных делителей натурального числа п.
а(п) - сумма натуральных делителей натурального числа п.
C(s) - дзета-функция Римана.

Одной из основных задач в аналитической теории чисел является задача изучения асимптотического поведения величины
£/(”)
п< X
при х —> оо с мультипликативной функцией / : N -> С.
Первый результат в этом направлении для функции Эйлера
*>(«)=(1) d|n
принадлежит Мертенсу [1], доказавшему в 1874 г., что
^ ЧДГ2
У](р{п) = — + 0(NogN).
* 7ГЛ

Первый результат для функции суммы делителей натурального числа
ff(n)
rf|n
принадлежит Дирихле [2], доказавшему в 1849 г., что N
Eff(") = T2iv2 + 0(ivIogiv)-

Опираясь на оценки тригонометрических дзетовых сумм, полученные И.М. Виноградовым и Н.М. Коробовым в 1958 г., А.З. Вальфиш [3] и А.Н. Салтыков [4] улучшили результат для функции Эйлера с оценкой остаточного члена в виде
o(A(logA02/3(loglogA01+£).
Оценки тригонометрических сумм дали возможность улучшить результат для функции а (п) с оценкой остаточного члена в виде
o(lV(logiV)2/3)

Так как (51, с) = 1, (с?^, ^с) = 1, то (51, ^вс) = 1 и имеет место равенство.
Р1 тт Р1 ТТ Р1
ТТ Р = ТТ Р тт
11 Л /р1~к | ТТ р1 к
р|^1в51С р|с/1 вс р&1 ‘
Применяя полученное равенство, находим
у(к,1) ^ тт- р1~к -1V V
11 ^ О??
Р 5=1 <*1=1 ■*
(<*1,»)
00 Р2(с) т-г У А „(*)

Е/* ^ тт Р у' тт Р
л/+1 Л Л ггХ к 1 / л Х2 Л Л — т^~~к
5=1 р^хвс |51=1 р|5х
(с,а1*)=1 («!,<*! »с)=1
В СВЯЗИ С тем, ЧТО
у ммтт I = гг л а
#|ци %I}, Р1 - ^ -1 1.'Л
получаем
у,к.п тт^-Р1~к-Р1-2- 1у^) V М) V к 11 л д+1 $ 2-^ д+1 *
^=1 — I 1 гг1
00 Е Р{й) Л2! 00 Е
(с,<*1«)
Так как (с, с^й) = 1, то
тт р1 тт Р1
тт р = п
ТТ Л Л-к — — 1 т/ — Л—к — т}~^ — 1 ТТ Л — Л-к т
р]с?1 ЗС р (1^ рс
Таким образом, находим