О группе Брауэра алгебраического многообразия над конечным полем

• Автор: Прохорова, Татьяна Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 64 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Этальная топология и группы Брауэра

§1. Этальные морфизмы

§2. Этальная топология

§3. Когомологии пучков

§4. Группа Пикара

§5. Когомологическая группа Брауэра

§6. Группа Брауэра локального кольца

§7. Группа Брауэра схемы

§8. Гипотеза М. Артина

§9. Классические результаты о группах Брауэра схем
Глава 2. О конечности /-примерных компонент группы
Брауэра
§ 1. Некоторые замечания о группе Брауэра алгебраического многообразия
§2. Основной результат
Глава 3. Приложения к гипотезе Тэйта
§1. Гипотеза Тэйта для дивизоров для общего слоя и объемлющего
многообразия
§2. Пример: арифметическая модель поверхности Куммера над глобальным полем положительной характеристики
Список литературы

Введение
Актуальность темы. Вычисление группы Брауэра числового поля является одним из самых важных достижений алгебраической теории чисел. В настоящее время возрос интерес к группам Брауэра схем. Актуальность темы обусловлена как задачами внутри самой алгебраической геометрии, так и многочисленными приложениями в диофантовой геометрии и теории чисел. Так группу Брауэра поля к можно определить как группу классов подобия центральных простых алгебр над к или, что эквивалентно, как группу когомологий
ЯЩаКЩЦ, (АЩ) = Я2((Зрес*)с1,Сго),
где Аг5 - сепарабельное замыкание поля к. Оба эти определения обобщаются на случай схем, но приводят при этом к разным группам. Первая из них Вг(Х) - группа классов подобных алгебр Адзумаи над X, называется группой Брауэра схемы X, а вторая ВДХ) = Н2{Хеи От) - когомологической группой Брауэра. Всегда имеется включение Вг(АГ) е—» ВДХ). Каждый класс когомологий из II1 (X. СД представим некоторым обратимым пучком. С геометрической точки зрения группа Брауэра классифицирует классы 2-когомологий, не приходящие из алгебраических диви-зориальных циклов, т. е. она классифицирует трансцендентные классы. Первоначально алгебры Адзумаи изучались над локальными кольцами самим Адзумаей [1], над произвольными кольцами их изучали Ауслендер и Голдман [2], а над схемами - А. Гротендик [3]. А. Гротендик первым дал удовлетворительное когомологическое описание групп Брауэра. Ю. И. Манин использовал группу Брауэра для изучения арифметики и геометрии кубических поверхностей [4]. Одним из самых интересных вопросов, касающихся группы Брауэра, является гипотеза М. Артина

о том, что группа Вг(Х) собственной схемы X —> SpecZ конечна [5]. Кроме того, если X - абелево многообразие над конечным полем Fg, то Вг(Х) конечна в силу теоремы Тэйта [6].
Целью настоящей работы является доказательство конечности Z-примарной компоненты группы Брауэра арифметической модели гладкого регулярного многообразия над глобальным полем конечной характеристики при условии, что для этого многообразия верна гипотеза Тэйта для дивизоров.
Основные задачи, решаемые в работе.
В дальнейшем С - гладкая проективная кривая над конечным полем Fg, к = Fg (С) - поле рациональных функций на кривой С.
Мы доказываем следующие основные теоремы:
1. Теорема 2.2.1. Пусть тг : X —> С - сюръективный морфизм гладких проективных многообразий над Fg; общий схемный слой которого является гладким многообразием V над к, и все схемные слои морфизма тт приведены. Предполооісим, что V{k) ф 0, HV ® к, Оу0е) = О, NS(K) = NS(K О к). Если для простого числа I, не деляищго Card([NS(K)]t0rs) и отличного от характеристики поля F9, верно соотношение
NS(K) ® Q[H2(V ® ks, QKl))]Gal(A;S/fc)
(другими словам,и, если верпа гипотеза Тэйта для дивизоров на V), то І-примарная компонента группы Вг'(Х) конечна
2. Теорема 3.1.3. Пусть тг : X —» С - сюръектлтный .м,орфизм гладких проективных многообразий над Fg, обгций схемный слой которого является гладким многообразием V над к, и все схе.м,ные слои морфизм,а, тт приведены. Предположим, ч,т.о V{k) ф 0, HV ® к, Оуъ) = О, NS(V) - NS(K <8> к). Если для простого числа I, не делящего Card([NS(V)]t0rs) и отличного от характеристики поля Fg, верно соотношение
NS(K) ® Q; [H2(V ® ks, Qz(l))]Gal(fcS/A:)

H°(X, vZ) = z,
(X,vZ) = 0, (1.24)
tf2(X, vZ) — Homcont(Gv, Q/Z),
а значит,
H°(X,Dx)= ©Z,
veXi
Я1(,-Ох) = 0. (1.25)
HX,Dx) — ©Homcont(G„,Q/Z)

(так как когомологии коммутируют с прямыми пределами).
Рассмотрим теперь спектральную последовательность Лере для включения д : Spec К X
Н"(X, R?g,Gm,K) =Ф fP«(Spec А-, G„). (1.26)
Слой пучка Rqg*&m,K в геометрической точке ж схемы X изоморфен Ня(Кх,От,к), где Кх - поле частных строго локального кольца схемы X в х. Значит, Rlg*GmK = 0 по теореме Гильберта 90. Следовательно,
ЯX,g,Gm#) = K
Hi(X,g,Gm,K) = H1(K,Gm)=0,
H2(X,g.Gm,K) Я2(Я,СтЖ).
Собирая все это вместе, мы получаем точные последовательности
о ®г-.яЧх,ст)->о,
0 -* Я2(Х, Gm)-> Я2(Я, G„,/f). (1.27)
Итак,
Hl(X, Gm) — (дивизоры)/(главные дивизоры)
PicX = Я1(Хг„,еЩ