Дополняемость в решетке подгрупп и групповая дополняемость

• Автор: Титов, Георгий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 88 c. : ил

Обозначения

Глава I. Локальная сверхразрешимость некоторых

периодических Ф^ С - групп

§ I. Предварительные утверждения

§ 2. Локальная сверхразрешимость Фф С -групп, являющихся локально разрешимыми

- группами

Глава 2. Строение некоторых периодических локально

разрешимых - групп

§ I. Предварительные утверждения

§ 2. Ф^ С - группы, являющиеся локально

разрешимыми л - или л - группами

§ 3. Локально разрешимые Яф С - группы с
условием минимальности
Глава 3. Обобщения квазигамильтоновых групп с
элементами бесконечного порядка
§ I. ЯКС - группы
§ 2. Полициклические К С - группы
без кручения
§ 3. Группы с перестановочными изоордными
циклическими подгруппами
Литература

Подгруппа А группы & называется дополняемой (реше-точно дополняемой) в £т с помощью подгруппы В »если дь=а (<А,Ь>=(*)и А Г) Ь - ^.Впервые вопрос об изучении групп с заданными системами дополняемых подгрупп был поставлен С.Н. Черниковым [I] .Затем появился целый ряд работ,посвященных изучению этого вопроса.
Известно, что шогие классы групп однозначно определяются своей решеткой подгрупп,и решетка подгрупп группы несет большую информацию о строении самой группы (см.,например, Судзуки [2] ).Подобно вопросу С.НЛерникова изучался более общий вопрос о строении групп с заданной системой решеточ-но дополняемых подгрупп. Дахер [з] и Ф.Холл [4] раесматри -вали так называемые К - группы, то есть группы, у которых все подгруппы решеточно дополняемы.
Ясно, что в квазигамильтоновых группах, то есть в группах^ которых все подгруппы перестановочны, системы дополняемых и решеточно дополняемых подгрупп совпадают. Критериев решеточной дополняемости в настоящее время почти нет. Ю.М. Горчаков рекомендовал автору изучить влияние заданных соотношений между множествами дополняемых и решеточно дополняемых подгрупп некоторой группы на её строение.Этот подход позволяет,используя достаточно развитую технику в группах с заданными системами дополняемых подгрупп, свести вопрос о решеточной дополняемости к вопросу о групповой допслняемос-ти.Изучению влияния заданных соотношений между множествами дополняемых и решеточно дополняемых подгрупп группы на её строение посвящены работы [б] - [п] .Основные результа-

ты диссертации опубликованы без соавторов в работах [ 5 ] -О] и [12]з,
Пусть С(Сг)» К(£1и /_1 СО) — соответственно множества дополняемых,решеточно дополняемых и всех подгрупп группы С*. Ф.Ходл в работе [4] показал,что как только G -конечная сверхразрелпшая группа и К (С ) = /-*(&) »то й является вполне факторизуемой группой, а значит К(^) - С (О • ШРВДМШИЕ^ Группу Ст ,у которой К (Ст)г С (Сг) »назовем К С - группой.
Если в группе О найдутся такие подгруппы А , ЕЬ> и С ,чтоАЬ-С и АПЬ^Ф((х) ,то будем говорить,что подгруппа А СгЯ^ - дополняема в подгруппе С с помощью подгруппы 1Ъ •
В диссертации изучается более широкий чем класс КС-грулл класс так называемых С - групп.
ЩЩЩЕНЙЕ. Дусть з? с со .Группа Ст называется Ф С - группой, если при всех р б & для любой р -подгруппы А , содержащей Фр (С?) ,из решеточной дополняемости А В Сг
с помощью подгруппы,содержащей ЯРП, (О) »следует (ЗгФ

дополняемость А в Сг .До определению всякая группа является С - группой.
В работе рассматриваются локально разрешимые С -группы следующих трех типов: I) локально нормальные группы;
2) периодические группы с конечными силовскими р - подгруппами по всем простым числам р и 3) группы с условием мини-мальн ости .для краткости изложения локально нормальные группы названы о/£ - группами, а периодические группы с конечными силовскими р - подгруппами по всем простым числам р - <$Ъ -группами.

и всякая силовская в 6 р - подгруппа сопршша с <р (здесь учитываем,что локально сопряженные циклические подгруппы сопряжены) С ПОМОЩЬЮ некоторого элемента ИЗ
л а

ТО при некотором и/ из £>^1 . имеем ь в А
ь ср)
и-1 и. а.'а
>4 А ,тоесть<ь,г >- р - подгруппа и,так
как силовская р - подгруппа в л циклическая, то
сс‘и ,
г 6 <г> .Откуда,учитывая,что ^(|се'а1) £ £ Ср) ,получим и!ы в С!) ,то есть с и.1) и - и,’ и. . Так как
ФеЬ , . Ь , 4 Ь , <(х> 4 & и !,
‘и ср) *с 'ср)
~1 I "Ь ~Ь ‘5
то из Си-1) (и. ) = И (и ) »получим а (со ) - 1 ,то
есть а - иА .Но это противоречит тому,что Л С Си.)-!,
л а“ &
Последнее и означает, что А П Ь = 1 •
Итак,оказалось,что в Фр С -группе О- не дополняемая подгруппа А .содержащая Фр(Сг) ,решеточно дополняема в Сг с помощью подгруппы,содержащей ФрАС). Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы в одну сторону.
Теперь пусть Сг удовлетворяет, условию Фж ,Р6* и А - подгруппа из Сгр , содержащая фр(й) »решеточно дополняема в Сг с помощью подгруппы £» .содержащей Фр| (О) (вообще говоря, при доказательстве этой части теоремы несущественно то, что Ь содержит Я^,С&) ). Так как ЛО‘Ь = б.
ТО [А(Сг)р] [(Сг ) , Ь] = Сг .Откуда по модулярному тождеству имеем £р = [А((ч)р] £ »где <5Г Л & .
Ясно, что £>р - силовская р - подгруппа в (£Л , £