Распределение дробных частей значений линейного многочлена, аргумент которого принимает простые числа из коротких интервалов

• Автор: Исматов, Сайфулло Неъматович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

1 Суммы коротких тригонометрических сумм с простыми числами

1.1. Вспомогательные леммы

1.2. Оценка сумм коротких двойных тригонометрических сумм

1.3. Оценка сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами

2 Распределение дробных частей значений линейного многочлена, аргумент которого принимает значения простых чисел из коротких интервалов

2.1. Вспомогательные леммы

2.2. Сведения распределения дробных частей {ар}, аргумент кото-

рого пробегает простые числа из короткого интервала к оценке сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами .
2.3. Распределение дробных частей {ар}, аргумент которого пробе-
гает простые числа из короткого интервала
Литература

Обозначения
е(а) = е2ша = cos 27га + г sin 2тта.
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер главы, номер параграфа, номер утверждения, с, Ci, С2, ■ • • ,-положительные постоянные, не всегда одни и тс же.
£-положительные сколь угодно малые постоянные. ip(q) - функция Эйлера.
/i(n) - функция Мёбиуса.
Л(?г) - функция Мангольдта. т(п) - число делителей числа п.
тг(п) - число решений уравнения хХ2---хг = п в натуральных числах
з *^2 j • • * з Яг .
Запись А х В означает, что сА < В < С2А.
При положительном А запись В = О(А) или В А означает, что существует с > 0 такое, что |В| < сА.
(а, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
[х] - целая часть числа х.
{х} - дробная часть числа х.
||х|| = min ({ж}, 1 - {ж}) - расстояние до ближайшего целого числа.
Jz? = lnxq.

Введение
Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, является оценка сумм коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами и вывод закона распределения дробных частей значений линейного многочлена, аргумент которого принимает простые числа из коротких интервалов.
Тригонометрические суммы впервые появились у Гаусса при доказательстве закона взаимности квадратичных вычетов. Он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя “ суммы Гаусса”. Тригонометрические суммы в дальнейшем стали мощным средством решения ряда важных проблем теории чисел. При этом, основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.
Далее были исследованы полные рациональные тригонометрические суммы вида
где /(х) = апх"+.. . + аХ, тг > 1, (ап,..., а1, д) — 1. В случае простого д — р
Сумму V представим в виде

т'(г)= 1 ^ т(г)-
г=кт,
к^К.тКуС-
Возводя обе части суммы V в квадрат, и применяя неравенство Коши, затем лемму 1.3, последовательно находим
Возможны следующие случаи длины суммирования по г: I) КуС^1 > 0.5д;
и) КуС~1 < 0.5д.
Случай г) КуС~х > 0,5д; Имеем
Разбивая интервал изменения г на не более
Кув-1 | 1 КуС~1 | д КуО-1 | 2КуС-1 Ку
Я Я Я Я Я Яв