Строение квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп

• Автор: Калачева, Светлана Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Слойно конечные, локально нормальные и РС-группы

1.2 Результаты общего характера

1.3 Группы с инволюциями

1.4 Группы, заданные непредставлениями

1.5 Достаточные условия бесконечности централизатора элемента

2 Редукция к простым группам

2.1 Некоторые свойства квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных

групп
2.2 Теоремы существования
2.3 О некоторых подгруппах простой квазислойно-конечной группы
2.4 О некоторых подгруппах простой квазилокально-нормальной группы
3 К вопросу о расщепляемости
3.1 Техника вееров
3.2 Вееры максимальных подгрупп
3.3 Достаточные условия расщепляемости
4 Пары порождающих элементов
Список литературы

Введение
Группы с различными условиями минимальности С.Н. Черникова — классический объект исследований абстрактной теории групп. Результаты О.Ю. Шмидта [37], С.Н. Черникова [32]-[36], В.П. Шункова [38, 39], А.Ю. Ольшанского [13] и др., прочно обосновали это направление в теории бесконечных групп.
Условия минимальности Черникова — есть условия обрыва убывающих цепей подгрупп, удовлетворяющих заданному свойству. Поэтому, в случае отрицательного решения проблемы Черникова, к ней всегда существует минимальный контрпример — группа, все собственные подгруппы которой принадлежат заданному классу групп, сама же она этому классу не принадлежит.
Пусть а некоторое теоретико-групповое свойство. Не сг-группа, все собственные подгруппы которых являются ст-группами, называется минимальной не-сг-группой или, в используемой нами терминологии, квази-сг-группой ([12], вопрос 14.83). Следуя этому определению, ква-зиконечной, квазичерниковской, квазислойно-конечной, квазилокалъно-нормалъной и квази-ГС-группой называется группа, все собственные подгруппы которой соответственно конечны, черниковские, слойно-конечны, локально нормальны или ГС-группы, сама же группа указанным свойством не обладает. Отметим, что данное определение согласовано с определениями квазиконечных и квазициклических групп в [13], по не совпадает с определением квазиабелевой группы (группы с конечным коммутантом), используемым в [2].
Чтобы сформулировать цели проводимых исследований обратимся к результатам О.Ю. Шмидта. Согласно известной работе О.Ю. Шмидта [37] (1947), все нормальные подгруппы квазичерниковских р-групп

центральны, а их фактор-группы по центрам просты и не содержат подгрупп конечного индекса. Там же доказано, что любые две максимальные подгруппы квазичерниковской простой р-группы пересекаются по единице. При р = 2 последнее свойство приводит к противоречию [37], поскольку любые две инволюции в периодической группе порождают конечную подгруппу. При нечетном р анализ строения контрпримера (7 к противоречию не приводит. Множество всех максимальных подгрупп группы (7 составляет ее расщепление, а любая пара ее неединичных элементов, взятых из разных компонент расщепления, порождает всю группу. Как доказал А.Ю.Ольшанский (1980 г.) [13], при любом нечетном р простые квазичерниковскиер-группы действительно существуют. При этом, им же показано, что для любого счетного множества конечных или черниковских р-групп, их свободная амальгама может быть вложена в квазичерниковскую простую р-группу. Таким образом, в случае квазичерниковских р-групп мы имеем почти идеальную согласованность между результатами абстрактной и комбинаторной теориями групп.
Возникает вопрос, все ли контрпримеры к проблемам минимальности Черникова имеют аналогичное строение? Можно ли с помощью методов абстрактной теории групп приблизиться к границе, очерченной комбинаторной теорией групп в данном направлении? Решению этих задач в классах квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп и посвящена данная работа.
Для квазиконечных групп (бесконечных групп Шмидта) аналогичные исследования проводились Н.П.Струнковым, В.П.Шунковым,
А.И.Созутовым.
Слойно конечные и локально нормальные группы в силу своего

тиворечие означает, что данный случай невозможен и хотя бы один из индексов [Я : Т] и [М : Т] бесконечен.
Случай 2. Пусть [Я : Т] = п < оо, [М : Т] = оо. Обозначим через 7г = 7г(Т) 7г(п!). Тогда для любого р € тг подгруппа Тр, порожденная всеми p-элементами из Т, совпадает с аналогично определенной подгруппой Нр из Я. В силу максимальности Я и простоты группы G получаем равенство Nq(Tp) = Я. Далее, Т < Nm{Tp), Nm(Tp) < Ng{Tp) и []Vg(Tp) : Г] < оо, значит, [Яд/(Тр) : Т] < оо. Так как М слойно конечная группа и Ту ее конечная подгруппа, то [М : А(7]э)] < оо. Но тогда и [М : Т] < оо, противоречие с предположением и рассматриваемый случай также невозможен.
Случай 3. Пусть, наконец, [Я : Т] = оо, [Я : Т] — оо и Я — максимальная бесконечная подгруппа в G, содержащая Ca(t). Ввиду слой-ной конечности подгрупп Я и М индексы [Я : C#(t)] и [М : См{1)] конечны. Так как С#(£) < Я П К, то [(Я П К) : Сн(£)] < оо и [Я : (Я П К)] < оо. Как было показано в самом начале, подгруппа К не может быть толстой. Следовательно, К тонкая подгруппа и ввиду рассмотренных выше случаев 1 и 2 приходим к выводу, что Я = К. Аналогично получаем, что [М : (М П К)] < оо и М — К. Однако последнее противоречит выбору подгрупп Я и М. Таким образом, все возможные случаи привели пас к противоречию. Это означает, что Я П М=1 и первая часть утверждения 1 доказана.
Ввиду максимальности подгруппы Я в G и простоты группы G заключаем, что Я = Nq{H). Очевидно, что для любого элемента д 6 GH подгруппа Н9 бесконечна и максимальна в G. По доказанному выше Я П Н9 — 1 и утверждение 1 доказано полностью.