Некоторые теоретико-числовые методы приближенных вычислений

• Автор: Ребров, Евгений Димитриевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 147 с.

Аннотация
В данной работе, относящейся к аналитической теории чисел, рассматриваются вопросы численного интегрирования периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с парралелепипедальными сетками, построенных по алгоритму Л. П. Добровольской.
Даются оценки мультипликативной дисперсии для концентрических алгоритмов численного интегрирования, основанных на указанных сетках, на классах Е°.
Построен концентрический алгоритм численного интегрирования с использованием алгебраических сеток с весами по методу К. К. Фролова в модификации Н. М. Добровольского и для случая в = 4 аналога точной параметризации А. С. Герцога алгебраических сеток для модифицированных алгебраических сеток.
Оглавление
Введение
1 Численное интегрирование с правилом остановки
1.1 Равномерное распределение взвешенных узлов и приближенное
интегрирование
1.2 Алгоритмы приближенного интегрирования с правилом остановки
1.3 Оператор взвешенных сеточных средних
1.4 Случайные величины и многомерные квадратурные формулы
1.5 Разбиение Н. М. Коробова
1.6 Обобщенные равномерные сетки
1.7 Обобщенные неравномерные сетки
1.8 Параллелепипедальные сетки
1.9 Оценки мультипликативной дискретной дисперсии для разных
алгоритмов вычисления параллелепипедальных сеток
2 Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками
2.1 Введение
2.2 Вспомогательные леммы
2.3 Решётки и гиперболическая дзета-функция решёток
2.4 Алгебраические решётки
2.5 Обобщенная гиперболическая дзета-функция алгебраической
решётки
2.6 Класс функций Е°(С)
2.7 Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций Е^(С)
2.8 Алгебраические сетки
2.9 Параметризация модифицированных алгебраических сеток биквадратичного поля <0> (/2 + /3)
3 Программная реализация алгоритма численного интегрирования с правилом остановки
3.1 Алгоритм Н. М. Коробова вычисления оптимальных коэффициентов
3.2 Алгоритм Л. П. Добровольской вычисления оптимальных коэффициентов по составному модулю
3.3 Алгоритм интегрирования с правилом остановки
3.4 Программы численного интегрирования для концентрических алгоритмов с алгебраическими сетками
Заключение
Литература

Определение 8. Произведением двух сеток с весами < М,р > и < М2, р2 > называется третья сетка с весами
< рз >—< М,рі > • < М2,р2 >, (1-8)

М3 = {{х + у}х є Миу є М2}, (1.9)

Мг ■ |М2|
№^ = ШТЛл77 X! Рі(х)-Р2{у), (1.10)
^2={х+у), х£ Мі ,у€М
и для любого вектора г = (гі,... ,гя) дробной частью вектора называется вектор
{*} = (Ы.-... {*.}).
Пусть натуральные числа и N2 — больше 1 и взаимно просты (то есть (N1, N2) = 1). Для определенности будем считать, ЧТО N1 > N
Рассмотрим две параллелепипедальные сетки Мі = М (ф; Ад) из N1 точек и М2 = М(а2;Л2) из N2 точек. Их произведение сетка М = М(Ь; А^А^) из А^А^ точек так же является параллелепипедальной сеткой. Нетрудно видеть, что Ъ = = N261 + N162. Параллелепипедальную сетку М(&;ЛіЛ2) можно представить как объединение N2 различных модифицированных параллелепипедальных сеток М(ф; N1) (к = О,..., N2-1):
N2—1 /і —
М(Ь;7У1АГ2)= У МіаиМ^І—^
£=о '
ШОідЛ «2,1^1 [ аі,8п а2,Д ) п = 0,..., - 1,
IV! + N2 / ’ І IV! + М2 )) * = 0,...,Л2-1 Г 1 ' '
Переходя к квадратурным формулам с параллелепипедальными сетками, получим следующие равенства
її /
[...( }{х)дх=^- ^2 7^ X) /({£+г}) - Ялц,г[/1 ) , (1.12)
0 0 2 геМ(а2;ЛГз) 1 гєМ(аі;ЛЦ) /
[/] = — ^А'! ,?[/]■ (1-13)

?Ш{а2 -,N2)