Изоморфизм подгрупп абелевых групп

• Автор: Кравченко, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 148 c. : ил

В В Е Д'Ё НИ Е

ГЛАВА I. ИЗОМОРФИЗМ В -ВЫСОКИХ ПОДГРУПП

§ 1.1. Абелевы группы А ,у которых для любой подгруппы В £ А все В -высокие

подгруппы изоморфны

§ 1.2. Почти самоиньективные группы без

кручения

ГЛАВА 2. ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ ПРЯМЫХ СЛАГАЕМЫХ

§ 2.1. Степенная подстановочность и сокращение в классе абелевых групп

§ 2.2. Почти изоморфизм и эквивалентность

абелевых групп без кручения конечного

ранга
ГЛАВА 3. ИЗОМОРФИЗМ ГРУППЫ С ПОДГРУППОЙ
Л И Т Е РА Т У Р А

В теории групп большое значение имеет изучение расположения подгрупп в группе.В частности»значительный интерес представляет изучение В -высоких подгрупп группы А ,т.е. подгрупп С сА »максимальных относительно свойства С л 8 = 0,где В -фиксированная подгруппа группы А .Этим вопросом занимались различные авторы /см. »например,[I] -[8] /.Оказывается,что множество 8 -высоких подгрупп группы А -это в точности множество слабо сервантных подгрупп в А / [I],[7] /.Но как связаны между собой 8 -высокие подгруппы,относящиеся к одной подгруппе 8 ? Установлено»например,что все высокие подгруппы /т.е. А -высокие »где А ~ Г) яА/ сервантны [8] и имеют оди1*1»
наковые ульмовские инварианты.Если при этом некоторая высокая подгруппа разложима в прямую сумму циклических групп,то все высокие подгруппы изоморфны между собой [2].
Вопрос»всегда ли все высокие подгруппы периодической группы изоморфны,был решен отрицательно Хиллом [4]
В работе И найдено новое достаточное условие,при котором в р -группе А все высокие подгруппы изоморфны.Рассматривались также вопросы,когда все 8 -высокие подгруппы сервантны [3] , когда существует лишь конечное число В -высоких подгрупп [5] , и др.
Если В -подгруппа в А ,то,вообще говоря,среди 6 -высоких подгрупп может быть много неизоморфных между собой [4] .Ирвином был поставлен вопрос,для каких подгрупп 8 группы Л все В -высокие подгруппы изоморфны между собой /[20] ,с.88,Проблема За/.Если фиксировать В ,а в качестве Л брать всевозмож-

ные группы,содержащие 6,и требовать,чтобы все В-высокие подгруппы оказывались изоморфными между собой,то ответ на этот вопрос получится такой:необходимо и достаточно,чтобы группа В была делимой /это следует из §1.2,Т.З/.В главе 1,§1Л рассматривается другой вопрос:каковы те группы А ,в которых для любой подгруппы В все В -высокие подгруппы изоморфны? Класс таких групп /обозначим его через ОС / описан в §1.1 /см.также [50]/.Приведем полученный результат.Для краткости бу^-дем писать перед соответствующим утверждением /0ГК/,если оно справедливо при предположении,что выполнена обобщенная гипотеза континуума. Для произвольной группы/4 через Т0 (А) обозначим тип, содержащий характеристику (Д^) Аг.) ,где
= по всем & «/Аср„з/^(а) - р ^-высота элемента а , рапробегает все простые числа, Ск7-И=оо/.
1. Периодическая группа ОС в том и только в том случае, если каждая р -компонентаАр группы А лежит в 01. р -группа А^ ОС в том и.только в том случае,если
А —(В'ЖСр'1) ,гдеИ4-Оо фиксировано.
2. Если )=< ,/г0(А) -ранг факторгруппы группы А по ее периодической части СА/,то А&01 в том и только в том случае,если Ш01 и выполнены следующие условия: а/ подгруппа <^А)р. ,где 1={11Ър^(ЬА) > 1} .прямое слагаемое в А /здесь 1р(Х) -ранг группы Хер] /,
б/ если ОА)р —не делимая группа,то АДА -не р -делимая группа, в/ для некоторого /а тогда и для любого/ & € А~ЬА выполнено А) /'Ю(а) -тип элемента СЬ /,

ти и получаем = С Ф Сл ,Где С - С -высокая подгруппа в /Л.11а/.В силу выбора £ отсюда 0=0 .Т.о., ~ С
~ 1?1
ЛЕММА 15 /ОГК/ Допустим, А £ X , |Т(А)1>£ , ?Г £ Т( А) .Тогда
г с Ас^/А^т] > %.
Доказательство,Если в К А) нет минимального элемента.то ТдА/АсЫ ^ Иа /см. Л.Ив/ и из г(А(^/А*иД >'г(А/А(Г)] /Л.14/ получаем требуемый результат.Пусть *£, -минимальный элемент в Т(А) .Если ,то А (^) 2 /| (1^) .группа
А СТ^/А*/^) =/Аизоморфна факторгруппе группы Д/Л га . По Л. 14 имеем ’Ъ (А (г)/Аъ)) > ъ (А/А №) > г (А (г,;/А*с .
Следовательно,нашу лемму достаточно доказать для минимального типа Ъ
Пусть Т -минимальный тип.Если К=А (Ъ) ,то А = 1фК /Л.Ив/.Выберем офё^К ,ОФ С1 £ Ь и пусть & = {а+ё)х , Кл -< $> -высокая подгруппа в К .ясно,что'&'( .Кроме того,
Р = С фЕ>Ф К 1~5ЬФ<ё/> Ф -существенная подгруппа в А
и потому А = Р /I.На/.Следовательно, ^ = А/А*(Т)
^ Р/Р*т ^ Ь ф В , ъ с Ь) > Н0
Определение Через обозначим класс таких групп А без кручения,что А = С .если только рА £: С £ А ,
ЛЕММА 16 Допустим, А £ Т£р , А^ =А/рА , К= Е(А)/р Е(А) . Тогда/? -инвариантные подгруппы в А^ удовлетворяют условию минимальности.
Доказательство проведем в несколько этапов.Допустим,мономорфизм ^€ЕсА) и ^(А)^рА .Тогда /(А) -существенная подгруппа в А и ^ продолжается до автоморфизма / делимой оболочки группы А .Через -|Р будем обозначать индуцированный элементом