Некоторые вопросы гармонического анализа на сферических однородных пространствах

• Автор: Авдеев, Роман Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление
Глава 1. Введение
§ 1.1. Основные понятия
1.1.1. Гармонический анализ на однородных пространствах
1.1.2. Сферические однородные пространства
1.1.3. Гармонический анализ на сферических однородных пространствах
1.1.4. Превосходные и почти превосходные сферические однородные пространства
§ 1.2. Результаты работы
1.2.1. Результаты главы
1.2.2. Результаты главы
1.2.3. Результаты главы
1.2.4. Пояснения к таблицам
§1.3. Благодарности
§1.4. Основные соглашения и обозначения
Глава 2. Вычисление расширенных полугрупп старших весов для пространств из таблицы
§2.1. Дополнительные сведения о полугруппах Л+ {О/Н) и Л+ (О/Л)
2.1.1. Связь с алгебрами Н-инвариантов
2.1.2. Связь с полуинвариаитными векторами в пространствах неприводимых представлений
2.1.3. Сферический случай
§2.2. Вычисление полугрупп Л+((7/Я) для пространств 1, 2 таблицы
2.2.1. Вспомогательные результаты
2.2.2. Вычисление
§2.3, Вычисление полугрупп Л+((7/Я) для пространств 3-8 таблицы
2.3.1. Вспомогательные результаты
2.3.2. Вычисление
Глава 3. Классификация превосходных аффинных сферических однородных пространств
§3.1. Аффинные сферические однородные пространства
§ 3.2. Сведение классификации к случаю строго неприводимых пространств
3.2.1. Доказательство теоремы
3.2.2. Доказательство теоремы
§ 3.3. Подготовка к завершающему этапу классификации
3.3.1. Предварительные замечания

3.3.2. Описание конечных расширений заданной связной редуктивной подгруппы
3.3.3. Признаки непревосходности редуктивной сферической подгруппы
3.3.4. Полугруппы старших весов симметрических пространств
3.3.5. Случай ортогональной группы С
§ 3.4. Завершающий этап классификации
3.4.1. Случай пространств из таблицы
3.4.2. Случай пространств из таблицы
Глава 4. Геометрическая характеризация превосходных аффинных сферических однородных пространств
§4.1. Переформулировка основной теоремы
§ 4.2. Вспомогательные результаты
4.2.1. Нулевой слой морфизма
4.2.2. Симметричные линейные действия торов
§ 4.3. Доказательство теоремы
4.3.1. Сведение доказательства к случаю строго неприводимых пространств
4.3.2. Случай строго неприводимых пространств
Литература

Глава
Введение
Диссертационная работа посвящена решению некоторых задач гармонического анализа на сферических однородных пространствах, а также исследованию связи этих задач с некоторыми геометрическими свойствами сферических однородных пространств.
§ 1.1. Основные понятия
В настоящей работе основным полем является поле С комплексных чисел, все топологические термины относятся к топологии Зарисского, все рассматриваемые группы предполагаются алгебраическими, а их подгруппы — замкнутыми. Касательные алгебры групп, обозначенных прописными латинскими буквами, обозначаются соответствующими строчными готическими буквами. Для любой группы Ь через ЩВ) обозначается группа её характеров, записываемая аддитивно.
1.1.1. Гармонический анализ на однородных пространствах
Пусть С? — связная редуктивная группа. Зафиксируем в С? борелевскую (т. е. максимальную связную разрешимую) подгруппу В и максимальную унииотентную подгруппу [/, содержащуюся в В. Обозначим через А+(0) полугруппу доминантных весов группы О по отношению к борелевской подгруппе В.
Пусть Н С О — некоторая подгруппа. Естественное действие группы С на однородном пространстве О/Н левыми сдвигами индуцирует её представление р в алгебре С [О/ Н] = = С[С]Я регулярных (т. е. полиномиальных) функций на О/П. Алгебра Щ/О/Н] как векторное пространство над С разлагается в прямую сумму конечномерных С-инвариантных подпространств, в каждом из которых представление группы О неприводимо. Набор (с учётом кратностей) неприводимых представлений группы О, входящих в это разложение, не зависит от самого разложения и называется спектром представления р. Для каждого доминантного веса Л группы (7 обозначим через т кратность вхождения в этот спектр неприводимого представления группы О со старшим весом Л. В силу двойственности Фробениуса для всех Л € А+(0) справедливо неравенство то* < схэ. Ясно, что спектр представления р, а тогда и само представление р с точностью до изоморфизма, однозначно определяется числами т. Основной задачей гармонического анализа на однородном пространстве О/Н является нахождение спектра представления р, т. е. нахождение чисел тп. Обозначим через Л+(б/Я) множество тех доминантных весов Л группы О, для которых

Действием группы Я2 переведём пару (Р, <3) в такую пару (Р', С}'), что нижние блоки 2x2 матриц Р' и С> имеют вид
1 * О А

<5Д

соответственно. Затем действиями групп иг и Я2 (лемма 2.4) переведём матрицы Р С}' соответственно в матрицы Р", <5", где

/0 0

V« ДУ

/ д
(; “V О" = я" = 0 я
о іі я °
/ д
при п,т > 2. В этих матрицах элементы, скрытые за многоточиями, равны нулю. Если п = 1 или гп = 1, то соответственно имеем

Пара (Р", £Д) является каноническим видом для пары (Р, (5). Итак, получено сечение, а значит, искомая алгебра С содержится в алгебре
Д Я 5 А
По пунктам (1) и (3) теоремы 2.7 функции Д (п > 2), 5 {т > 2), Г) неприводимы, порождают алгебру С, а их веса относительно В х Н порождают полугруппу Л+( Случай 6. В этом случае Є = Зр2п х Эр,,, Я = Я1* = Зр2п_4 х Зр4, 3£(Я) = 0. Первый множитель группы Я вложен в первый множитель группы (3 в виде центрального блока (2п — 4) х (2п — 4); второй множитель группы Я вложен диагонально в С (в первый множитель вложен как блок 4 х 4 в строках и столбцах с номерами 1, 2, 2п — 1, 2п).
Мы интересуемся функциями /(Р, <5) Є С[(3], для которых выполнено равенство
ДР, Я) = ПиРк їЛа, иОЛа)
при любых матрицах Р Є С?і, О 6 О2, щ Є Яі, н2 Є (/2, /іі Є Яі, /і2 Є Я2.
Пусть (Р, <3) є С — произвольная пара матриц, множество М будет выбрано позже. Начнём приводить эту пару к каноническому виду. Сначала положим /і2 = Ф_1М2 и тем самым переведём матрицу С) в единичную матрицу Я4. Теперь задача свелась к поиску канонического вида для матрицы РС,Д1 Є Зр2п относительно действий группы Я4 слева и