Изоморфизмы тензорных произведений модулей и Т-модули

• Автор: Приходовский, Михаил Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 90 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 1. Основные обозначения и вспомогательные факты.

§ 2. Определения, общая постановка задачи. Кольцевые гомоморфизмы е : 5 —> Я и тензорные произведения над различными кольцами.

ГЛАВА 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА Т-МОДУЛЕЙ

§ 3. Модуль Яо и критерий Т(Я)-модульности.

§ 4. Свойства группы Нотг{А, В) в случае, когда Ад является Т(Я)-моцулем. Характеризация Т-модулей с помощью групп гомоморфизмов.

§ 5. Свойства замкнутости классов Т-модулей.

§ б. Взаимосвязь между Т-модульностью Ал и свойствами кольца Я и модуля Я$-

§ 7. Т-модульность Ад в случае, когда Яд - Т-модуль.
Факторкольцо Я/1 как Т(Я)-модуль.
ГЛАВА 3. ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ Т-ГРУПП
§ 8. Ранг кольца Я и классы Т(Я)-модулей.
§ 9. Строение Т-модуля над кольцами Я, Е(А) и 2’(Я(А)) на периодических группах.
§ 10. Строение Т(Я)-групп без кручения.
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В разное время интерес многих алгебраистов привлекал вопрос об изучении взаимосвязей между свойствами абелевых групп и модулей. В этом направлении имеется большое количество работ. В рамках этой проблематики находится изучение F-колец и F-модулей. Первые публикации о Е-кольцах и E-модулях относятся к 1970-м годам. Е-модуль А над кольцом R определяется равенством групп гомоморфизмов Homz{R, А) — Homji(R, А). В частности, если рассматривать кольцо R как правый регулярный модуль, приходим к изоморфизму R = E(R+), который задает класс Е-колец. Впервые понятие Е-кольца появилось в 1973 г. в работе [Sel]. Затем оно было перенесено на класс модулей; такие модули назывались в [Bowl] Е-группами. Е-модулям посвящены работы [Mal], [Piel] и другие.
В настоящее время Е-модули и Е-кольца находят широкое применение в теории абелевых групп. Например, в [Gol] изучаются саморефлексивные группы G, которые определяются условием G = Hom(Hom(G1G),G). Еруппа является саморефлексивной тогда и только тогда, когда она является Е-модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Е-модули существенно используются при изучении абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов. Так, для абелевой группы G без кручения конечного ранга верно, что G - циклический проективный модуль над своим кольцом эндоморфизмов E(G) тогда и только тогда, когда G = R 0 А, где R есть Е-кольцо и А - Е-модуль над R [Nel],[Arl]. В [К4] дан обзор результатов об абелевых группах как модулях над своими кольцами эндоморфизмов, показывающий пользу Е-модулей и Е-колец в этих вопросах.
С другой стороны, активно изучаются тензорные произведения абелевых групп и модулей. Тензорное произведение является второй (после группы гомоморфизмов) важнейшей конструкцией. Описание строения тензорных произведений абелевых групп и модулей является актуальной проблемой. Представляет интерес изучение взаимосвязей между тензорными произведениями модулей над разными кольцами. В общем случае для модулей Ад и RC тензорные произведения A ®z С и А ®д С - различные объекты. Однако при некоторых условиях между ними может существовать канонический изоморфизм.
В диссертации вводится новое понятие - Т-модуль, или Т(е)~ модуль, который определяется условием A ®s R — A ®r R в предположении, что задан гомоморфизм колец е : S —» R. В частности, рассматривается условие A®z R = A®rR. Заметим, что для каждого кольца R есть единственный кольцевой гомоморфизм Z R.
Рассматривается следующая задача: получить описание классов модулей, для которых существует канонический изоморфизм A R = А <Е>д R■ В некотором смысле эго направление можно считать двойственным к изучению Д-модулей. Здесь вместо функтора Нот рассматривается функтор тензорного умножения. Оказывается, что естественно, классы Е- и Т-модулей тесно взаимосвязаны.
Для колец изоморфизмы R R = R или R R — R изучались в работах [Bowl], [Sil] и других. Кольцо R со свойством R®z R — R называется Т-кольцом [Bowl], Вопрос о взаимосвязи между модулем Ад и тензорным произведением A ®s R исследовал Сильвер [Sil] в предположении, что е : S —^ R эпиморфизм в категории колец. В диссертации исследуются соответствующие конструкции без этого ограничения. В [Sil] доказано, что существование канонического

§ 4. СВОЙСТВА ГРУППЫ Нотг{А,В) В СЛУЧАЕ, КОГДА Ад ЯВЛЯЕТСЯ Т( Л [-МОДУЛЕМ. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ Т-МОДУЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРУПП ГОМОМОРФИЗМОВ
Пусть Ад Т(Я)-модуль. Будем рассматривать свойства групп Нот3{А, В) и Нотл(А, В) для некоторого модуля Яд.
Предложение 4.1. Пусть Я, Я - кольца, е : Я —)• Я - гомоморфизм колец, Ал , Вл - правые И-модули, причем Ад является Т-модулем. Тогда Нот3(А, В) = Нотк{А,В).
Доказательство. Рассмотрим последовательность естественных изоморфизмов:
Нотп(Ап, Вя) = Нотп{А ®д Я, Яд) = Нотя(А ®3 #, Дд) -Нот3(А, Нотл(Т1, В)) = Яотд(А, В).
Итак, Яотд(Ад, Яд) = Нот3(А, В). Но поскольку Яотд(Ад,Яд) С Нот3(А, В) и любому гомоморфизму Ад —» Яд соответствует он сам, то получаем требуемое равенство. □
Аналогичное утверждение верно и в случае, когда А и Я - левые Я-модули.
Особый интерес для дальнейшего представляет случай Я = Е. Запишем такое утверждение.
Следствие 4.2. Пусть Я - кольцо, Ад - модуль. Если Ад является абсолютным Т-модулем, то для любого модуля Мд выполнено равенство
Нотг{А,М) = Нотц{А,М). □
Замечание. Получается, что если Ад является абсолютным Т-модулем, то Е(А) — ЕпдлА. Аналогично, дуальный модуль