Некоторые вопросы теории групп Шевалле над полями и конечными кольцами

• Автор: Колесников, Сергей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 134 с.

Глава 1. О строгой вещественности конечных простых групп

§1. Спорадические группы

§2. Основные леммы для групп лиева типа

§3. Доказательство основной теоремы для групп лиева типа

Глава 2. О рациональности и строгой вещественности сплетений конечных групп

§1. Критерий рациональности сплетения конечных групп

§2. Критерий строгой вещественности сплетения конечных

групп

§3. Приложения к силовским 2—подгруппам групп Вейля и знакопеременных групп

§4. Приложения к силовским 2—подгруппам в классических линейных группах

Глава 3. Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Ше-валле ранга больше 2 над кольцом Ърт
§1. Обозначения
§2. Порождающие элементы и элементарные автоморфизмы
§3. Характеристичность конгруэнц-подгрупп
§4. Автоморфизмы, тождественные по модулю Ф(К, У-1), I . 63 §5. Автоморфизмы, тождественные по модулю Ф(К, Д71“1), II
§6. Автоморфизмы, тождественные по модулю Ф(А, Уп~1), III 82 §7. Автоморфизмы, тождественные по модулю Ф(К, Д71-1), IV
Глава 4. Автоморфизмы силовских р—подгрупп групп Ше-валле ранга 1 и 2 над кольцом Ъ^
§1. Вспомогательные леммы
§2. Автоморфизмы группы ЗА(Хрт)
§3. Автоморфизмы группы £А2(2рт)
§4. Автоморфизмы группы ЗВ2{2,рт)
§5. Автоморфизмы группы г(2рт)
Глава 5. О регулярности и мощности силовских р-подгрупп групп (7Гга(2рт) и (7Ф(2рт)
§1. Условия регулярности и нерегулярности группы Рп(%рт)

§2. Условия регулярности группы 5Ф(2рт)
§3. Условия мощности групп Рп(%рт) и 5Ф(Жрт)
Библиография

В диссертации исследуются вопросы теории групп Шевалле над полем и конечными кольцами и смежные вопросы.
Группы Шевалле являются наиболее естественным обобщением классических линейных групп. Интерес к группам Шевалле произвольного типа над конечным полем вызывается тем, что они составляют основной массив конечных простых неабелевых групп, как показывает анонсированная классификация последних, и исчерпывают их вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами.
В теории конечных групп и при перенесении её результатов на периодические группы естественно возникают вопросы специальной порождаемое конечных групп, вопросы о различных свойствах силовских подгрупп и так далее, см. известные обзоры С.А. Чунихина и Л.А. Ше-меткова, А.И. Кострикина, В.Д. Мазурова, A.C. Кондратьева и др. В диссертации рассматривается следующий, записанный А.И. Созутовым в Коуровской тетради, как известный, вопрос:
(А) Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [10, вопрос Ц.82].
Группу, в которой любой элемент представим в виде произведения не более чем двух инволюций (это равносильно сопряженности элемента посредством инволюции со своим обратным), называют строго вещественной. Известно, что в конечной простой неабелевой группе любая инволюция лежит в четверной подгруппе. Поэтому вопрос (А) эквивалентен вопросу описания строго вещественных конечных простых групп.
Группу, в которой взаимно обратные элементы всегда сопряжены, называют вещественной, поскольку вещественны все значения её комплексных неприводимых характеров, согласно [3, стр. 54]. С другой стороны, конечную группу называют рациональной, если все значения её комплексных неприводимых характеров рациональны. Названным группам посвящена монография [43]. Их исследования в различных конкретных ситуациях, в частности, для групп Вейля (см. также вопрос о рациональности СИЛОВСКИХ 2-подгрупп симметрических групп $2[10, вопрос 15.25]) приводят к следующей задаче.
(Б) Найти необходимые и достаточные условия свойств строгой вещественности и рациональности сплетения двух конечных групп.
Традиционно важное направление в теории классических групп и

с четной суммой г/(1) + ... + г/(7); фундаментальная система корней:
П = -(се - е7 - ... - е2 + е{), г2 = е1 + е2, г3 = е2 - еь... , г8 = е7 - е6;
максимальный корень: го = е7 + е8.
Тип Г4. Положительные корни:
фундаментальная система корней:
Г1=е2- е3, г2=е3- е4, г3 = е4, г4 = - е2 - е3 - е4);
максимальный корень: гц = е4 + е2.
Тип С2. Положительные корни:
е1 — е2, ез — еь ез ~ е2> ез + е2 — 2в1, е + е3 — 2е2, 2е3 — е — 2е2; фундаментальная система корней:
максимальный корень: го = 2е3 — е2 — е.
§2. Порождающие элементы и элементарные автоморфизмы
Всюду далее в этой главе предполагаем, что ранг Ф больше двух. Используются стандартные (см., например, [29]) обозначения: ( , ) — скалярное произведение в пространстве представления системы корней Ф; /г., = 2в/(в, в) — ко-корень, соответствующий корню 5 6 Ф. Полагаем р(Ф) = тах{(г,г)/($, 5) | г,« € Ф}.
В группе СФ(.К'), как обычно, выделяем корневые элементы хг(Ь) (г € Ф, £ € К) и диагональные элементы кт(и) (и (Е К#). В [15] показано, что силовская р-подгруппа 5Ф(Жрт) порождается диагональными элементами На(у) (5 € Ф, V £ 1 + ,7) и корневыми элементами хт(Ь) с условием г £ Ф+, £ £ К или г £ Ф_, £ € 3. Определяющими для неё служат следующие соотношения:
г-е- е2, г2 = е2 + е3 - 2е4;
жг(^)тг(и) = хг(р + и),
(1)
кг(ш)кг(у) = Ьг(юу),
(2)