К теории n-упорядоченных групп

• Автор: Тоболкин, Антон Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 71 с.

Оглавление

Список используемых обозначений

Введение

1 Определение и примеры п-упорядоченных алгебраических

систем

1.1 Определение л-мерного порядка

1.2 Примеры 71-упорядоченных групп

2 Элементы геометрии п-упорядоченных групп

2.1 Операторы матричных преобразований

2.2 Элементы геометрии п-упорядоченных множеств

2.3 Некоторые теоремы геометрии п-упорядоченных групп

3 Упорядочивание алгебр над полем Ж
3.1 3-упорядочивание поля комплексных чисел
3.2 4-упорядочивание тела кватернионов
3.3 Конечные 4-упорядоченные группы
Заключение
Список используемой литературы

Список используемых обозначений
Символы □ и означают соответственно начало и конец доказательства. т)п - стандартная n-мерная функция порядка (ориентация ?г-мерного Евклидова пространства).
(„ - n-мерная функция порядка.
set(X) - множество, состоящее из всех элементов матрицы X. а = sign о det.
Если X, У - две матрицы с одинаковым количеством строк, то запись (X, Y) означает "приклеивание" к матрице X справа матрицы У. Если матрицы X и Y имеют одинаковое количество столбцов, то запись (X; У) означает "приклеивание" к матрице X снизу матрицы У.
I>(i)A означает г-ую строку матрицы А.
V(j)A — j-ый столбец матрицы А.
Запись
означает матрицу размером тп х п, у которой на месте (к, I) расположен элемент А(гк,
Запись
означает, что в матрице А с помощью операторов о и V выделяется подматрица
Будем обозначать мнимые единицы через із,к.
і>(гь

Введение
Актуальность темы. В начале двадцатого века были заложены основы теории линейно упорядоченных множеств, было введено понятие формально вещественного поля, получен критерий линейной упорядочиваемое™ ПОЛЯ и структурные теоремы для линейно упорядоченного поля, начата классификация сечений в упорядоченных полях. Кантор ввёл понятие вполне упорядоченного множества и приступил к изучению кардиналов и ординалов [28]. Хан [33] заложил основополагающие понятия, вошедшие потом в арсенал теории упорядоченных алгебраических систем, такие как архимедовы и неархимедовы величины, неархимедовы упорядоченные группы и тела. В 1900 году в своём знаменитом докладе на математическом конгрессе Гильберт сформулировал вопрос о представимости положительного многочлена в виде суммы квадратов многочленов [21]. Публикации по этой проблеме оказались стимулом к изучению упорядоченных полей. Благодаря работе Дедекинда. [30], математики стали широко использовать понятие сечения во множествах рациональных и вещественных чисел.
Строение сечений в упорядоченном поле несёт существенную информацию о свойствах самого поля, поэтому логика исследований упорядоченных полей со временем привела к некоторой классификации сечений в упорядоченных полях [15; 16]. В теории линейно упорядоченных полей существеннз'ю роль играют различные замыкания з'порядоченного поля [27].
Одним из центральных вопросов в теории упорядоченных полей является установление изоморфизма двух упорядоченных полей. Здесь оказались плодотворными методы теории моделей. В частности, Тарским была установлена полнота теории вещественно замкнутого ноля [46]. Одновременно с развитием теории упорядоченных полей развивалась и

2.2 Элементы геометрии п-у поряд оченных множеств
Структура порядка тесно связана с геометрией, поэтому возникает естественное желание перенести как можно больше понятий и результатов из геометрии Евклида в геометрию те-упорядоченных множеств и групп. Ключевым понятием в геометрии те-упорядоченных множеств и групп является симплекс.
В аналитической геометрии под /г-симплексом понимают -мерный тетраэдр. Однако такой подход к определению симплеска в п-упорядоченном множестве не применим, т.к. наша основная цель - построить геометрию на дискретных множествах. Поэтому иод /с-мерным спмнлеском в К'* будем понимать не /-мерный тетраэдр, а только множество вершин этого тетраэдра, занумерованных натуральными числами от 1 до к + 1.
Определение ,2.2.1. Пусть {М,0 есть те-мерно упорядоченное множество. Тогда подмножество Ь С М называется множеством точек общего положения в М, если для каждого множества А С Г, |Л| < (те + 1), существует такое множество В С М, что А Г) В — 0,(АВ) — (те + 1) и
С(-4; В) ф 0.
Определение 2.2.2. Пусть < 5, С > ~ те-упорядоченное множество. Если для кортежа А Є 5+1 существует кортеж В Є 8п~к такой, что выполняется (',(АВ) ф 0, то А назовём /г-симплескоы те-упорядоченного множества
<5',С> [20; 26].
Согласно определению, В есть симплекс, который будем называть дополняющим симплексом к А. Заметим, что при к — —1 кортеж А вырождается в пустое множество, а В есть те-с.иплекс, который в дальнейшем будем называть максимальным.