О коммутативных подалгебрах в обертывающих алгебрах полупростых алгебр Ли

• Автор: Тарасов, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 67 с.

Содержание

Введение
0.1. Обозначения и постановка задач.
0.2. Основные результаты.
0.3. Основные методы доказательств.
Глава 1. Существование квантования обобщенных подалгебр Мищенко — Фоменко для алгебры Ли 01П(С)
Глава 2. Максимальность обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли
Глава 3. Единственность квантования обобщенных подалгебр Мищенко — Фоменко для алгебры Ли д1„(С)
Список литературы

Введение
0.1. Обозначения и постановка задач. Настоящая диссертация посвящена, во-первых, доказательству существования и единственности квантования (т.е. поднятия из алгебры Пуассона
- Ли в обертывающую алгебру) обобщенных подалгебр Мищенко
- Фоменко для алгебры Ли 01П(С), и во-вторых, изучению свойств максимальности для обобщенных подалгебр Мищенко - Фоменко для полупроетых алгебр Ли.
Универсальная обертывающая алгебра V(д) алгебры Ли д имеет возрастающую фильтрацию

^(е) = и (ел

Ассоциированная градуированная алгебра
6г^(я) = Я(в) = фРк(в), Л(8) = (0.2)

согласно теореме Пуанкаре - Биркгофа - Витта, канонически изоморфна симметрической алгебре 5(д) пространства д. Однако, помимо коммутативно-ассоциативной операции умножения, в ней
благодаря коммутативности алгебры Р(д) естественным образом вводится л невская операция { , } - "скобка Пуассона - Ли -Березина" (мы будем называть ее просто скобка Пуассона), для которой
{и + и^(в), V + £/(і-1}(0)} = [и, V] + Р^-2>(б). (0.4)
(Это определение корректно ввиду коммутативности алгебры {гцСДд).) Другие эквивалентные определения см. в [14].
Скобка Пуассона связана с умножением тождеством Лейбница
Она однозначно определяется этим свойством и "начальными условиями" {х, у} = [я, у] при х, у Є 0.
Элементы х,у Є Р(в) будем называть коммутирующими, если {ж, у} = 0. В соответствии с этим будем понимать и такие термины, как "коммутативное подпространство" (в частности, "коммутативная подалгебра") и "централизатор" (какого-либо подмножества) в алгебре Р(д). Из (0.5) следует, что если какие-либо элементы в алгебре Р(д) попарно коммутируют, то порожденная ими подалгебра коммутативна.
(0.3)
(0.5)

Лемма 1.1.6. Для любых главных индексов 7,6 имеем [е7<$, ЗУ = 0 (и, следовательно, [е7<5, У§] = 0).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательный элемент
= ^'(к —1,1-1,р-1,д-1) = ^2 У! Яїи’> У Мууі ,
/'ид=5' Vі±£’

где 5" = 5{7, 5}. Поскольку для Zs^ 7, б суть простые индексы, то [е7<5, Zs^ = 0 по лемме 1.1.а.
Выясним для произвольного коммутатора вида [ІЯгичНуу] из Zs^1 принадлежат ли индексы 7,6 наборам II' и Vі. Всего существует 16 вариантов принадлежности (каждый из двух индексов может входить или не входить в каждый из двух наборов). Обозначим для каждого варианта через Z(*,*) сумму всех коммутаторов, соответствующих этому варианту, причем вместо первой (второй) звездочки будем писать те из индексов 7,5, которые входят в Л'(соответственно V'). Положим #(*,*) = [е7$, £(*,*)].
Ясно, что
Zs = Z + 6) + г(5,7),
где Z - сумма коммутаторов из Zs■> для которых либо 7,5 Є /, либо
7,5 € і(см. (1.3)).
Ясно, кроме ТОГО, ЧТО е75 коммутирует с любым неподнятым минором, который содержит или не содержит одновременно