Некоторые вопросы насыщенности и распознаваемости в периодических группах

• Автор: Лыткина, Дарья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 76 с. : ил.

1 Используемые результаты

2 Периодические группы, распознаваемые по своему спектру

2.1. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4

2.2. Распознаваемость группы Ь2(7) по спектру в классе всех групп

3 Периодические группы, насыщенные некоторыми классами групп

3.1. О периодических группах, насыщенных центральными расширениями групп 1/2(е/)

3.2. Периодические группы, насыщенные группой С;!(9)

3.3. Периодические группы, насыщенные группами Д-;(27'1)

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Теория абстрактных групп, т.е. групп, не наделённых изначально никакой дополнительной (геометрической, топологической, физической) структурой, зародившаяся на рубеже 19-го и 20-го воков, первое время развивалась как теория конечных групп. Усилиями нескольких математиков, среди которых, несомненно, нужно выделить В.Бернсайда и Г.Фробониуса, были получены основополагающие результаты теории конечных трупп. Вклад Бернсайда в развитие теории групп составляют не только его выдающиеся результаты, положившие начало локальному анализу конечных групп, и его замечательная книга [43], в которой подведён итог первоначального развития теории конечных групп, но и его знаменитые проблемы, во многом определившие развитие теории периодических групп. В одной из них речь шла о гипотезе, согласно которой порядок любой конечной простой неабелевой группы чётен или, другими словами, любая конечная группа нечётного порядка разрешима, в другой задавался вопрос о локальной конечности периодической группы (У, порядки элементов которой ограничены некоторым числом. Для групп, период п которых не превосходит 3, положительный ответ был известен самому Бернсайду. В случае п — 2 группа С абелева. При п = 3 в 1928 году Б.Л.Ван-дер-Вардеп и Ф.Леви [53] показали, что С трёхступенно пилыютентпа. В 1942 году появилась знаменитая работа И.Н.Санова [20], в которой доказывалась локальная конечность групп С в случае п — 4.
Глубокая работа Ф.Холла и Г.Хигмана [50] стимулировала появление доказательства локальной конечности групп периода б [49], но наибольшее влияние она оказала на решение другой проблемы Бернсайда: идеи этой работы наряду с глубокими теоретико-характерными методами, связанными с конечными группами, близкими к группам Фробсниуса,

привели У.Фейта и Дж.Томпсона [461 к доказательству разрешимости конечных групп нечётного порядка. Работа Томпсона и Фейта и последующие работы Томпсона о группах о разрешимыми локальными подгруппами дали старт бурному развитию теории конечных групп, которое привело к классификации конечных простых групп (см. [41], [48]).
Между тем надежда на положительность решения проблемы Бернсайда для любого конечного периода была развеяна сенсационной работой II.С.Новикова и С.И.Адяиа [14], в которой содержалось доказательство бесконечности свободной берпсайдовой группы В(п,г) периода пег порождающими при г > 2 и достаточно большом п. Эта работа предопределила появление неожиданных примеров групп С.И.Адяиа, А.Ю.Ольшанского, Р.И.Григорчука и их учеников (см. [1] -[3], [5], [6], [15] - [18]), показавших бесконечность ширины пропасти между локально конечными группами и периодическими группами.
Ясс эти исследования ясно показали, что прогресс в "положительном" направлении изучения периодических групп возможен в первую очередь при условии существования в этих группах элементов небольших простых порядков, в частности, порядков 2 и 3 (отметим, что вопрос о локальной конечности групп периода 5 до сих пор открыт). Надежда на такой прогресс подкреплялась и мощными методами в исследовании конечных неразрешимых групп, связанными, как правило, с существованием в конечных простых группах подгрупп чётного порядка.
Некоторые приёмы техники работы с элементами порядка 2 (инволюциями) в конечных группах, в первую очередь, идеи работы Р.Брауэра и II.Фаулера [42], в которой доказывалась конечность числа конечных простых групп с заданным централизатором инволюции, были развиты и адаптированы к бесконечным группам с инволюциями в ряде работ В.П.Шункова и его учеников. Отметим прежде всего

Сс(х). Покажем вначале, что Т — единственная силовская подгруппа из Сс(г), содержащая х. Предположим противное. Пусть 7 — силовская 2-подгрупна из Сс(г), содержался х и отличная от Т. Понятно, что г £ 7. По выбору Т подгруппа ТГ7 содержит Стх[х). Так как Z(Tl) < Стх(х) ^ 7'П7, то по предложению 24 7'Г7 < 7 и Т/ТГТ — элементарная абелева группа. Теперь (7' П 7)Сс{Т П 7) является 7’1-ипвариантпой 2-подгрупиой, поэтому (7' Г)7)С(7' Г7) ^ 1, откуда 2Г(7’) ^ С(7' П 7) ^ 7’ П 71. Снова по предложению 24 Т П 7 < 7’ и 7’/7’ П 7^ — элементарная абелева группа.
Пусть теперь 7'ч — любая силовская 2-подгруппа из С(2), содержащая Т П 7. Тогда ^ Ст2(Т П 71) ^ 7’ П 7 и по лемме
23 7’ П 7 <] ?2, а 72/7' П 7! — элементарная абелева 2-группа.
Пусть а £ 7'/7'П1,Ь £ 7/7'Г)7. Тогда (а,Ь) — конечная группа диэдра. Так как 7' П7 - локально конечная группа, то (а, Ь) — конечная группа, централизующая г.
Пусть К = {а,Ь,г). Тогда К < I £ £(К). Так как К ^ Сь{г), то по предложению 8 Сь{г) является 2-замкнутой группой. Поэтому аЬ — 2-элемент и 7? = (аЬ,7'П7) — 2-группа.
Пусть 1'2 - силовская подгруппа из С (г), содержащая ((7’П71),а,6). Тогда 2(7) < Ст2{Т Г7) ^ 1'Г7. По предложению 24 7'П7 < 7 и 72/7’ П 71 — элементарная абелева группа, поэтому аЬ — инволюция. Отсюда вытекает, что (Т,7)/Т П 1 -- элементарная абелева 2-группа. В частности, 7'7 — 2-группа, т.е. Т = 7. Итак, 7' - единственная силовская 2-подгруппа из С'с(х), содержащая х.
Пусть у — произвольная инволюция из Сс{г). Тогда х(г) и У{%) — инволюции из Са(г)/(г), поэтому {х,у) — конечная группа, централизующая г. Как и выше, (.х,у) — 2-группа, поэтому (х, у) ^ 7у £ 7 Таким образом, 7’ содержит все инволюции из Со(г). Пусть