Действия торов и локально нильпотентные дифференцирования

• Автор: Котенкова, Полина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

Содержание
Введение

Глава 1. 01Т-эквивалентность и диагональные действия

1.1. Орбитные конусы и ОГГ-веер

1.2. Построение веера для действия группы ЗО(К)

1.3. Построение веера для действия группы ЭЦП)

Глава 2. Отображение ограничения корней

2.1. Однородные локально нильпотентные дифференцирования

2.2. Ограничение корней

2.3. Действия подторов на торическом многообразии

2.4. Корни аффинной группы Кремоны
2.5. Аффинные торические поверхности
Глава 3. Однородные локально нильпотентные дифференцирования на
Т-многообразиях сложности один
3.1. ©„-вложения
3.2. Многообразие группы ЗЬ(2)
3.3. Четырёхмерная квадрика
3.4. Конус над грассманианом
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Введение
Диссертация посвящена решению ряда задач теории алгебраических групп преобразований и геометрической теории инвариантов.
Мы работаем над алгебраически замкнутым полем К характеристики ноль. Будем обозначать через 1КХ и Са мультипликативную и аддитивную группу поля К соответственно.
Алгебраическим тором Т называется алгебраическая группа, изоморфная группе (Кх)". Торическое многообразие — это нормальное алгебраическое многообразие, которое допускает действие алгебраического тораТ с открытой орбитой. Теория торических многообразия возникла в начале 1970-х годов в связи с задачами эквивариантной компактификации алгебраических торов. Она быстро стала одним из популярнейших разделов алгебраической геометрии и нашла приложения во многих областях. Причина кроется в том, что важнейшие алгебро-геометрические свойства торических многообразий могут быть выражены на языке выпуклой геометрии и комбинаторики. Напомним, что веером называется такой конечный набор полиэдральных конусов Е, что грань любого конуса из Е также принадлежит Е и пересечение любых двух конусов из Е является гранью каждого из них. Всякому тори-ческому многообразию ставится в соответствие некоторый веер, лежащий в векторном пространстве, ассоциированном с решёткой однопараметрических подгрупп тора Т. Он определяет многообразие однозначно с точностью до Т-эквивариантного изоморфизма. Понятие веера и соответствующего тори-ческого многообразия было введено М. Демазюром в [20]. Там же был описан метод для вычисления его когомологий. Однако Демазюр ограничивался рассмотрение гладкого случая. Теория торических многообразий развивалась в
работах многих авторов. Перечислим некоторые из них: [4], [5], [19], [26], [29] и [38].
Теория торических многообразий допускает обобщение. Пусть X — нормальное алгебраическое многообразие, на котором эффективно действует алгебраический тор Т. Такие X называются Т-многообразиями. Напомним, что слооюность Т-действия — это коразмерность типичной Т-орбиты на X. Хорошо известно, что Т-многообразия можно задавать так называемыми комбинаторными данными, они описываются в терминах полиэдральных дивизоров на полупроективпых многообразиях. Многообразия сложности ноль являются торическими. Комбинаторное описание Т-многообразий сложности один получено в [29] и, более общо, в [7] и [43]. Т-мпогообразия произвольной сложности описаны в [8] и [9].
Пусть X —■ аффинное нормальное алгебраическое многообразие. Хорошо известно, что регулярные Са-действия на X находятся во взаимно однозначном соответствии с локально нильпотентными дифференцированиями (сокр. ЛНД) алгебры К[Х] регулярных функций на X. Теория локально нильпо-тентных дифференцирований в своей настоящей форме существует с 1960-х годов. Первоначально она возникла из теории алгебр и групп Ли, где исследовались связи между дифференцированиями, векторными полями и действиями групп. Однако линейные Са-действия изучались ещё в XIX в. Хорошо известна теорема Вайценбёкка о конечной порождённости алгебры инвариантов для линейных <Ва-действий, доказанная в 1932 году. Появление контрпримера Нагаты к Четырнадцатой проблеме Гильберта в 1958 году вызвало новую волну интереса к действиям группы Са и унипотентных групп вообще. К середине 1990-х годов теория локально пильпотентных дифференцирований стала мощным иструментом для исследования коммутативных колец и групп автоморфизмов. С помощью неё были описаны группы автоморфизмов таких многообразий, как поверхности Данилевского, см. [34] и [36]. Важным объектом тут служит введённое Л. Макар-Лимановым в 1996 году понятие

точностью до умножения на константу, находятся во взаимно однозначном соответствии с согласованными парами (2),е).
Приведём точную формулу для однородного ЛНД горизонтального типа, соответствующего согласованной паре (Э,е). Без ограничения общности мы можем считать, что zq = 0 и — оо, если С = Р1. Вторая часть Теоремы
2.4 позволяет нам также считать, что vz = 0 для всех 2 S С"{0}. Алгебра регулярных функций на С' является алгеброй многочленов от одной переменной К[£]. Из доказательство [31. Theorem 3.28] следует, что однородное ЛНД горизонтального типа, соответствующее согласованной паре (2),е), задаётся формулой
(2.1.2) 8{trXm) = d{(v0, т) + r)tr+sXm+e V (m, г) 6 М 0 Z.
2.2. Ограничение корней
В этом разделе мы определим отображение ограничения корней и докажем его сюръективпость. Нам понадобится следующий лемма о разложимости дифференцирования в сумму однородных.
ЛЕММА 2.11. [31, Lemma 1.10] Пусть А — аффинная М-градуированная алгебра. Любое дифференцирование д алгебры А раскладывается в сумму
(2.2.1)

где де — однородное дифференцирование степени е. При этом выпуклая оболочка А(д) С Mq множества {е G М де ф 0} является многогранником. Если д — ЛНД, то для каждой вершины е многогранника А(д) дифхферен-цирование де является локально нильпотептиым.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого однородного элемента а Е А рассмотрим разложение его образа в сумму однородных д{а) = YhetM °deg(a)+e (здесь нижний индекс означает степень элемента). Линейное отображение де па А,