Тождества алгебр и их представлений

• Автор: Размыслов, Юрий Питиримович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 263 c. : ил

СОДЕВЕАНИЕ
Глава 0. Вспомогательные сведения и утверждения §1. Ассоциативно-лиевы пары, тождества пар, многооб-• - ■■ • разия пар. Связь с многообразиями представлений алгебр Ли
1.1. Категория ассоциативно-лиевых пар. Тождества пар
1.2. Категория представлений алгебр Ли в ассоциативных алгебрах
1.3. Категория представлений алгебр Ли в линейных пространствах
§2. Центральное замыкание для полупервичных алгебр
2.1. Построение центрального замыкания
2.2. Простейшие свойства центрального замыкания
2.3. Центрально-замкнутые первичные алгебры, достаточные условия замкнутости
§3. Тождества Капелли и теорема о ранге §4. Изоморфизм центрально-первичных ассоциативно-лиевых пар над алгебраически замкнутым полем, имеющих одни и те же тождества Глава І. оі-функция на 2-словах и выделяемые ею многообразия представлений алгебр Ли §5. Понятие о/ -функции на 2-словах §6. Многообразие пар , задаваемое о(-функцией §7. Построение о*-функции по любому представлению конечномерной алгебры Ли, обладающей невырожденной инвариантной симметрической билинейной формой

§ 8. Соответствие между ццеалами слабых тождеств и идеалами коммутативной алгебры, задаваемое с^-функцией
§ 9. Общий подход и постановка задачи исследования многообразий пар в методе 2-слов
Глава 2. о1 -функции, связанные с формой Киллинга и неприводимыми представлениями полупростых алгебр Ли. Центральные полиномы неприводимых представлений редуктивных алгебр Ли
§10. Формулировка основных результатов главы §11. Несколько замечаний об обертывающих алгебрах полупростых алгебр Ли §12. Существование центральных полиномов в простых обертывающих алгебрах §13. Многообразия трехосновных алгебр УСЦ (К,$№) §14. Вспомогательная трехосновная алгебра
и продолжение оС -функции о1 на пространство обобщенных 2-элементов §15. Доказательство теоремы 14.1 для конечномерной алгебры V §16. Доказательство теоремы 10.1 §17. Доказательство теоремы 14.1 в общем случае §18. Некоторые следствия теорем ЮЛ и 14.1 §19. Доказательство теоремы 10.
Глава 3. »'-функция, связанная с полными матричными алгебрами. Тождества со следом и центральные полиномы полных матричных алгебр и матричных супералгебр П, К

§20. Основные результаты главы
20.1. Основные обозначения
20.2. Основные результаты
§21. Вычисление об -функции и алгебры В
§22. Алгебра полиномов со следом. Основные понятия
§23. Вспомогательная алгебра со следом
23.1. Алгебра и
23.2. Алгебра I/ (#)
23.3. Расширение области определения об -функции об'. В ~'» К [^3
23.4. Билинейное спаривание £г'.
23.5. Замыкания 6^, ^ и их связь с
23.6. Свойства билинейной формы
6Е: Те®Т£ - К[М
23.7. Задание структуры групповой алгебры на §24. Классификация над полями нулевой характеристики
^2 -замкнутых идеалов и идеалов тождеств со следом V, для которых УЛТ^ - двусторонний идеал в Т £
§25. Описание тождеств со следом в полных матричных алгебрах и супералгебрах
25.1. Тождество со следом Гамильтона - Кэли и тождества со следом алгебры М
25.2. Модельные алгебры для идеалов тождеств со следом
§26. Три леммы
26.1. Лемма о ветвлении
26.2. Полные матричные алгебры над полем в многообразии УЫ М ц, к

Следующая теорема о ранге была доказана в работе автора [613.
Теорема 3.1. Пусть V- к- подпространство в первичной К- алгебре А сигнатуры Q . Если ъа.пк.{(,У)<оач то в центральном замыкании Ш) алгебры А
оит. С (А) У = гапк (А, У) -i >
Доказательство. Положим ГП--СУ 1 Л = &(А,У) -4 *
Очевидно, что ШъП . Из определения ранга следует, что существуют элементы 1/1,-,ггп6Е £6еА и полином сигнатуры ^2 , который кососимметричен и полилинеен по первым П. аргументам и для которого
а = с!^ ( и1^ , ^1, ) Ф 0>
Для любого и еУ и 1=1,...ПОЛОЖИМ - о!
(гг подставляем вместо Х6 ). Применяя тождество Капелли порядка ГС.+1 к элементам в записи элемента Пик элементу 1/ из , получаем ^ ( ЬТкОц , И.*0.)
<)'1 ^4 -в* )..., ^1 = ^
(^хо1Г1хА = гг1,...) х1;=и(; зсп.=ггГЪ) *а
Ь1 = &±1 9 г =
- д (^*а , ..., г^а.-) (3.1)
где ы , и - любые элементы ассоциативной алгебры 3) ( А) , произвольный полином сигнатуры Q , полилинейный по выделенным в нем двум аргументам. Из равенства (3.1) следует, что, если ЬУ*а.-0 для некотогого ьу е I) , то произведение идеалов 3)ХД- и 1)х&;*аб-равно нулю. Так как Сс Ф 0 , то в силу первичности алгебры А отсюда следует, что равенство ЪУ'й.~0 влечет ЪУ*0-с~0 . Поэтому существует гомоморфизм I)- модуля 3)х£б в который однозначно определяет такой элемент С;Ю)€ СМ , что а £ = С;«г)-а. (см. предложер к
ние 2.2). Остается показать, что элемент 6-11-21 Сс(И) из О (А) равен нулю. Предположим, что & Фо . Тогда существует ЬУ&Ъ » ДЛЯ которого ОУЬУ*& £ А (см. второе свойство центрального