Положительно упорядоченные полутела

• Автор: Ряттель, Александра Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 89 с.

Содержание
Введение
Глава 1 Полукольца и полутела
§ 1. Исходные понятия и примеры
§2. Многочлены над полукольцами
§3. Упорядоченные и упорядочиваемые полукольца
Глава 2 Аддитивно идемпотентные полуполя
§4. Основные свойства
§5. Однопорожденные и циклические полуполя
§6. Делимые полуполя. Алгебраическое замыкание
Глава 3 Линейно упорядоченные полутела
§7. Свойства и конструкции
§8. Мультипликативно архимедовы линейно упорядоченные полуполя
§9. Непрерывные полутела
Литература

Введение
В современной математике изучаются математические структуры, которые можно условно разделить на три основных типа (Н. Бурбаки): алгебраические, порядковые и топологические. Соединение алгебраического и порядкового типов приводит к упорядоченным алгебраическим системам (упорядоченные полугруппы, упорядоченные группы, упорядоченные кольца и т.д.), которые изучаются в общей алгебре, начиная с 30-х годов XX века (см. [2], [11], [14], [15], [25]).
Диссертация посвящена одному из интенсивно развивающихся в последние десятилетия разделов общей алгебры - теории полуколец ([5], [26], [30]). Развитие этой теории связано с успешным применением ее в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики (см., например, [19], [30]). Из последних работ о полукольцах отметим статьи П.С. Дудникова, С.Н. Самборского [10], И.И. Артамоновой [1], Г.JI. Литвинова, В.П. Маслова [17], В.И. Варанкиной, Е.М. Вечтомова, И.А. Семеновой [4], А.Н. Семенова [22], Е.М. Вечтомова, A.B. Михалева, В.В. Чермных [9], Е.Б. Шпиза [28], С.Н. Ильина [11, 12], Е.М. Вечтомова [6-8], обзорную работу [29].
Полутела в теории полуколец играют роль, подобную роли тел в общей теории колец. Однако уже свойства полуполей существенно отличаются от свойств полей. А поскольку все полутела положительно

упорядочиваемы, то интересно и естественно исследовать класс положительно упорядоченных полутел.
Изучение упорядоченных полуколец является логическим продолжением исследований традиционных упорядоченных алгебраических объектов, и в достаточной мере использует факты и методы теории упорядоченных алгебраических систем. Их изучение началось в работах Вайнерта, Луговски, Фукса (см. [31], [32], [35]-[37], [25]) в 60-ые годы XX столетия. Вайнертом было доказано, что всякое полутело без нулевого элемента с идемпотентным сложением может быть рассмотрено как решеточно упорядоченная группа, и обратно. Луговски рассматривал класс аддитивно архимедовых упорядоченных полуколец; им было доказано, что всякое неплотное аддитивно архимедово упорядоченное полукольцо изоморфно ИЛИ 7ИТУ, или л/Жэ{0}, ИЛИ 7^ (т еТУ). Фукс впервые поставил задачу определения и изучения решеточно упорядоченных полуколец ([25], с. 307); решению этой задачи посвящена статья М.Н. Подлевских [21]. Из более поздних статей об упорядоченных полукольцах можно отметить работу Железникова ([38]), посвященную изучению таких свойств полуколец, как регулярность, ортодоксальность, инверсность, делимость, работы Сатанараяны ([33], [34]), где автор анализирует влияние свойств полугруппы (Б;-) вполне упорядоченного полукольца {Б;+,-) на свойства порядка полугруппы (5;4-). Стоит отдельно выделить монографию Голана [30], содержащую большой материал по теории полуколец, в том числе по упорядоченным полукольцам, а также обширную библиографию.
Укажем и кандидатские диссертации [3,20,23,27], в которых исследуются полукольца функций.

Можно взять стандартное вложение произвольного полукольца в полукольцо с единицей (см. [5, с. 7]).
Замечание 3.1. Естественный порядок < на упорядочиваемом полукольце S служит наименьшим отношением порядка на S, превращающим его в упорядоченное полукольцо.
Замечание 3.2. Квазитождество (3) из формулировки предложения 3.2 показывает, что класс всевозможных упорядочиваемых полуколец образует квазимногообразие. Поэтому он замкнут относительно взятия подполуколец и фильтрованных произведений, в частности, прямых произведений (см. [18], § 11). Однако, как показывает пример полукольца всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения, факторполукольцо упорядочиваемого полукольца не обязано быть упорядочиваемым.
Предложение 3.3.Для любого полукольца S его идеал [О(Тявляется кольцом, а факторполукольцо S/cr упорядочиваемо.
Доказательство. Класс нуля [0] а конгруэнции сгна полукольце S есть множество всех элементов из S, имеющих противоположный элемент. Ясно, что [0]ст - идеал и подкольцо в S. Предположим, что Mff+M/MrMj для а, и, veS. Тогда [а+ и+ v]CT=[a]OT откуда (а + и)+ v+ х = а для некоторого xeS. Поэтому (а+и)аа, т.е. [аа+[и}(Т=[а+ и]о-=[а]о. Остается применить предложение 3.2, условие 4).
Заметим, что [0]ст={0} равносильно тому, что полукольцо S является антикольцом, a [0]cr=iS' равносильно тому, что S есть кольцо.
Предложение 3.3 показывает роль колец и упорядочиваемых полуколец в классе всех полуколец. Это утверждение можно сформулировать следующим образом: