Надгруппы классических групп

• Автор: Петров, Виктор Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 129 с.

Глава 1. Обобщенные унитарные группы

1.1. Определение унитарных групп

1.1.1 Псевдоинволюции и форменные параметры

1.1.2 Квадратичные формы

1.1.3 Изометрии и унитарная группа

1.1.4 Гиперболические пространства и группы

1.2. Элементарная подгруппа

1.2.1 Трансвекции Эйхлера-Зигеля-Диксона

1.2.2 Элементарная подгруппа и КТД

1.2.3 Гиперболический случай. Группа Стейнберга и КИг

1.3. Классические группы как унитарные

1.3.Г Ортогональная группа
1.3.2 Симплектическая группа
1.3.3 Классическая унитарная группа
1.4. Случай полной линейной группы
1.4.1 Полная линейная группа как унитарная
1.4.2 Лемма Титса
1.4.3 Группа Стейнберга и Кг
Глава 2. Геометрия и К-теория унитарных групп
2.1. Теорема Витта
2.1.1 Стабильные ранги
2.1.2 Теорема Витта
2.2. Стабилизация младших К-функторов
2.2.1 Теорема о сокращении

2.2.2 Сюръективная стабилизация КИ1
2.2.3 Инъективная стабилизация ЮД
2.2.4 Сюръективная стабилизация КТД
2.3. Инвариантность элементарной подгруппы
2.3.1 Локализация
2.3.2 Лемма Квиллена-Суслина
2.3.3 Доказательство инвариантности
2.3.4 Инвариантность относительной элементарной подгруппы
Глава 3. Описание надгрупп
3.1. Линейно-унитарные группы
3.1.1 Определение линейно-унитарных групп
3.1.2 Линейно-унитарная группа Стейнберга и ККИг
3.1.3 Линейно-унитарная и относительная элементарная группы
3.1.4 Вычисление нормализаторов
3.1.5 Порождение линейно-унитарной группы трансвекцией
3.2. Извлечение трансвекций
3.2.1 Извлечение на локальном уровне
3.2.2 Подъем трансвекций
3.3. Веерное описание надгрупп
3.3.1 Формулировка основного результата
3.3.2 Случай ортогональной группы
3.3.3 Случай симплектической группы
3.3.4 Теорема Уилсона-Голубчика
3.4. Вычисление факторов
3.4.1 Точная последовательность К-функторов
3.4.2 Применение к числовым кольцам
Заключение
Список литературы

Изучение классических групп восходит ко второй половине XIX в. Над полем комплексных чисел и конечными полями классические группы систематически изучались Фробениусом, Жорданом и Диксоном. В связи с применением к теории квадратичных форм Витт исследовал ортогональные группы над произвольными полями. В различных аспектах классические группы над произвольными полями изучались Шрайером и ван дер Варденом. Вейль развил теорию представлений и теорию инвариантов классических групп; ему же принадлежит сам термин “классическая группа”. Дьедонне перенес большую часть конструкций и результатов на случай тел.
Структурная теория классических групп над полями (или телами) изложена в книгах [1] и [17]. Основными ее результатами являются теоремы о порождении классических групп элементами простого вида (отражениями и трансвекциями), теоремы о продолжении изометрий и сокращении, теоремы о простоте присоединенных классических групп.
Первые результаты о строении решетки подгрупп классических групп были получены в контексте теории алгебраических групп с использованием методов алгебраической геометрии. Титсом были описаны параболические подгруппы (т.е. надгруппы борелевских групп), а Борелем и Титсом — над-группы тора над алгебраически замкнутым полем. Позже эти результаты были перенесены на случай конечных полей Зейцем, а в случае бесконечных полей получены Боревичем, Вавиловым, Дыбковой, Койбаевым, Кингом и ДРИнтенсивное изучение решетки подгрупп было инициировано работой Ашбахера [26], в которой дается подход к задаче описания максимальных подгрупп классических групп над конечным полем. Именно, он выделил восемь классов подгрупп (Д-Св (например, стабилизаторы подпространств

Ссылки на аналогичные результаты с другими предположениями см. в [37, Теорема 9.1.3].
Следствие. При тс1(У) > вДЯ, Л) естественные отображения
КвИДУ)КСИДУ 0 7*),
КиДУ)->КиДУ®7*)
сюръективны. В частности, при I > вДЛ, Л) отображения
кси1)2дя,л) -> КСи112/+2(Л,Л)}
Ки1|2г(Л, А) -> К111)2;+2(Л, Л)
сюръективны.
Доказательство. Действительно, сюръективность этих отображений эквивалента наличию разложений в формулировке Теоремы 3. □
Заметим, что в правой части отображения стоит группа (а не просто множество с отмеченной точкой) по Лемме 17.
2.2.3 Инъективная стабилизация КТД
Доказательство инъективной стабилизации К} обычно опирается на существование разложений особого типа (разложения Денниса-Васерштейна в случае полной линейной группы, см., например, [37, 4.2.14]).
Выше мы уже определили группу ЕиРДУ) для любого пространства V с фиксированными гиперболическими парами (е^ е_х) (е/, е„г). Определим теперь ЕиРДУ © 7*) как подгруппу, порожденную ЕЙ(У) и транс-векциями вида Те,Да) (здесь (е1,е_1), как обычно, гиперболический базис в ТВ). С точки зрения теории групп Шевалле это элементарная параболическая подгруппа типа Р. При этом Е1ДУ) является элементарной частью Леви, а подгруппа, порожденная Те1„(а) (будем ее обозначать через Те1*) — унипотентным радикалом. Легко видеть, что Е1ДУ) нормализует ТС1*.