О некоторых классах многомерных модальных логик

• Автор: Кравцов, Алексей Геннадиевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с.

1. Обзор используемых определений и результатов
1.1. Общие определения
1.2. Операции над отношениями
1.3. Модальные логики
1.4. Шкалы Крипке
1.5. Произведения модальных логик
1.6. Временные логики
1.7. Некоторые свойства полиномиальных колец над полем <0)
2. Свойства расширений логики 81Д
2.1. Действия моноидов и левые конгруэнции
2.2. Связь ЭГД-конусов и конгруэнций на Мп
2.3. Конгруэнции на ЛГп и идеалы кольца полиномов над <0>
2.4. Конгруэнтные замыкания множеств пар векторов
2.5. Нормальные формы в ЭЬ"
2.6. Описание конечно аксиоматизируемых расширений БЬ"
2.7. Приведённый вид аксиом расширений ЭИ/1
2.8. Конечная аксиоматизируемость расширений в!/1
2.9. Разрешимость расширений ЭЬ"
2.10. Разрешимость табличное конечно аксиоматизируемых расширений ЭЬ"
2.11. Операции над конгруэнциями
2.12. Структура классов сглаживания
2.13. Поведение конгруэнций при склейке
2.14. Финитная аппроксимируемость расширений ЭЬ”

3. Свойства произведений модальных логик
3.1. О сохранении финитной аппроксимируемости для произведений
3.2. О сохранении разрешимости для произведений
3.3. О простой перемножаемости
4. Свойства расширений логики SL.t"
4.1. Связь SL.t"-KOHycoB и конгруэнций на Zn
4.2. Связь SL.t”-KonycoB и подгрупп Zn
4.3. Порождающие множества подгрупп Zn
4.4. Нормальные формы в SL.t"
4.5. Финитная аппроксимируемость расширений SL.t"
4.6. Приведённый вид аксиом расширений SL.t"
А. Свойства логик SL и SL.t
А.1. Свойства конусов логик SL и SL.t
А.2. Описание расширений логик SL и SL.t
Предметный указатель
Литература

Первые модальные исчисления были созданы Льюисом [19], [20]. В дальнейшем теория модальностей превратилась в раздел математической логики благодаря работам Гёделя [12], Маккинси-Тарского [22], Крипке [16], [17], [18] и других. Появление многочисленных приложений модальных логик в информатике [23], теории искусственного интеллекта [5], математической лингвистике [2] и в основаниях математики [3] привело к стремительному росту этой области начиная с 1980-х годов.
Основные отличия модальных логик от классических - это наличие дополнительных (модальных) связок □ (необходимо) и О (возможно), а также большое разнообразие семантик. Одной из самых распространённых семантик для модальных логик является семантика возможных миров, в которой значение истинности каждой формулы зависит от «возможного мира». В частности, возможные миры в реляционной семантике Крипке рассматриваются как всевозможные варианты развития событий; при этом для каждого мира задаётся множество альтернативных ему миров и модальность □ интерпретируется как «истинно во всех мирах, альтернативных данному».
Современные модальные логики, как правило, являются многомодальными, т. е., содержат несколько базисных модальных связок, что позволяет выразить взаимодействие нескольких модальностей в рамках одного языка.
При содержательном рассмотрении многомодальных логик возникает задача - как можно получить многомодальную логику, описывающую взаимодействие заданных модальностей (характеризующих, например, время, пространство, знание и т. д.), при наличии модальной формализации для каждой из этих модальностей ? Для решения это задачи применяются различные способы комбинирования модальных логик, т. е., построения с помощью определённых правил новой модальной логики по нескольким заданным модальным логикам. При этом особое внимание уделяется связи свойств комбинированной модальной логики с соответствующими свойствами исходных модальных логик.

Глава 2. Свойства расширений логики Б!/1
выполняется, если и только если
У] Зг С} - С].
Доказательство. По лемме 2.24, логика £(С/) аксиоматизируется некоторой формулой Д. Тогда, по лемме 2.33,

£(с},. ■ - ,013 = эь” + и л

Отсюда получаем:
« £(С? Ь □ А, « У) 1= □ А,. (2.5)
1=1 1
По лемме 2.32 и определению Д, для каждого у имеем:
С] И У Д ^ Зг С2 N Д Зг £(С2) Э (2.6)

По леммам 2.9, 2.10 и 2.18, имеем;
ЦС')2 £(С?) «• С/ - С?. (2.7)
Утверждение леммы теперь следует из (2.5), (2.6) и (2.7). ■
Лемма 2.37. Пусть {С^ {С2 } - мнооюества БЬ'"‘-конусов, причём логики различных конусов в каждом из этих множеств несравнимы. Тогда равенство
выполняется тогда и только тогда, когда
{~<д • • •, } = {~с?»• • •. ~с?2} •
Доказательство. Утверждение «тогда» следует из леммы 2.17.