Модули и линейные группы над алгеброй Пименова и их некоммутативные деформации

• Автор: Ефимов, Дмитрий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 81 с.

Актуальность темы. Теория линейных групп над кольцами — это довольно активно развиваемое в настоящее время направление (см. обзор Залесского А.Е. [19]). По этой тематике имеется большое количество статей и монографий. Помимо исследований для колец наиболее общей природы, часто возникает задача изучения линейных групп и над отдельно взятыми кольцами. Рассмотрим алгебру От(К), порожденную над полем К единицей и дуальными единицами Ьк, к = 1 т, связанными определяющими соотношениями 4 = о, ЬкЧ = щк, Ок(чь) = М>Р = 1 Линейные
группы над данной алгеброй возникают в различных вопросах математики и теоретической физики.
Так в работах [28], [29] Пименов Р.И. предложил единое описание всех Зт геометрий Кэли-Клейна размерности т (геометрий пространств с постоянной кривизной) и показал, что все они локально моделируются в виде области т-мерного сферического пространства с именованными координатами. В силу этого было замечено, что в виде линейных групп над алгеброй Пт реализуется важный класс групп движения пространств постоянной кривизны (групп Кэли-Клейна). В определенном базисе они могут быть реализованы как матричные группы, состоящие из матриц размера (т + 1) х (т + 1) вида (А(У))« = Jkl0^ku удовлетворяющих свойству ортогональности А{у)А{])Т — А^)ТА(3) = Е, где ац 6 К, ды АА-И • • ‘31—1) 1к = дкЧ ^кк = 1)1 ^ ^ б: тп А~ 1, а jk,
1 < к < т принимает одно из двух значений 1 или Если все равны 1, то получаем обычную ортогональную группу. Если же среди элементов ^ есть дуальная единица, то соответствующая группа будет иметь структуру полупрямого произведения и, следовательно,

являться неполупростой. В работе Громова H.A. [9] данный метод перехода от полупростых групп к неполупростым, реализованным в виде матриц над алгеброй Dm, был распространен на симплектиче-ские и унитарные группы.
Далее, в последний двадцать пять лет активно развивается теория квантовых групп (некоммутативных деформаций групп) [22], [32], [45], [46], [55], [57]. Общий метод построения квантовых групп, заключающийся в некоммутативной деформации алгебры функций на группе и наделении ее структурой некоммутативной и некоком-мутативпой алгебры Хопфа, детально разработан для всех серий простых групп [32]. Он связан с существованием универсальных R-матриц (решений уравнения Янга-Бакстера), определяющих коммутационные соотношения образующих алгебры Хопфа. Для непо-лупростых групп такого общего метода не существует. В работах Громова H.A. и его учеников с помощью метода перехода от полупростых групп к неполупростым, реализованным в виде матричных групп над алгеброй Dm, построены некоторые некоммутативные деформации групп Кэли-Клейна [10], [51], а также некоторые некоммутативные деформации других видов неполупростых групп [11],[50].
В последнее время активно развивается также такая область математики, как суперматематика. Укажем здесь на работы Березина Ф.А. [2], Лейтеса Д.А. [24], Каца В.Г. [53] (см. также [7], [8], [27]). Наряду с коммутирующими переменными здесь рассматриваются и антикоммутирующие, а значит нильпотентные индекса 2 переменные. Одним из важных примеров супералгебр является алгебра Грассмана. Во многих физических приложениях преобразования суперпространств реализуются в виде матриц над алгеброй Грассмана. В работе [2] рассмотрены некоторые свойства алгебры Грассмана, проведена классификация ее автоморфизмов, дано определение линейных групп над алгеброй Грассмана (супераналогов классических групп), указано на некоторые их свойства и физические приложения. Нетрудно показать, что алгебра Dm является подалгеброй алгебры Грассмана. В силу этого в суперматематике также естественным образом возникают различные алгебраические структуры над алгеброй Dm, в частности, некоторые группы преобразований

суперпространств можно реализовать в виде линейных групп над алгеброй Ит.

Если линейная группа над полем действует на векторном пространстве над этим полем, то линейная группа над кольцом II является группой автоморфизмов некоторого свободного Д-модуля. Поэтому одновременно с исследованием линейных групп над алгеброй Д„ естественно возникает задача исследования Д„-модулей.
В алгебре есть делители нуля, пильпотентные элементы различных индексов, и это обстоятельство относит ее к числу объектов, для которых нет полной, хорошо разработанной теории, как скажем, для полупростых алгебр. В монографии Ж.-П. Серра [36] алгебра Д используется для определения некоторых алгебр Ли. В монографии Шафаревича И.Р. [40] алгебра Д используется для описания касательного пространства в точке схемы. Зайнуллииым К.В. в [18] рассмотрены центральные расширения специальной линейной группы бесконечных матриц над алгеброй Дп.
В частном случае т = 1 мы приходим к алгебре дуальных чисел, которые были введены Клиффордом У.К. во второй половине 19-го века [44]. Данные числа и алгебраические структуры над ними нашли применение в различных областях математики и теоретической физики. Так Котельников А.П. и Штуди Э. применяли их для построения теории винтов [21], [56] (см. также [14]). Розен-фельд Б.А. и Яглом И.М. использовали их для описания неевклидовых пространств и движений в них [33], [41]. Дуальные числа могут быть использованы для описания структур, рассматриваемых с точностью до бесконечно малых второго порядка, на алгебраическом языке (см. [38], [39], [40]). Многообразия над алгебрами, в частности над алгеброй дуальных чисел, активно изучаются представителями казанской геометрической школы (см., например [6], [26]). Механику с дуальными координатами рассматривал Дуплий С.А. [15]. Определяющие соотношения классических групп над кольцом дуальных чисел рассмотрел Сатаров Ж.С. [34], [35]. Теорию дуальных чисел как числовых систем можно найти в монографиях [3], [20]. Тем не менее, нельзя сказать, что дуальные числа широко известны.
В силу вышесказанного, алгебра Д, а также модули и липей-

Предложение 3.4.2 Пусть дана алгебра Пименова От{К). Тогда справедливо строгое включение:
Зрп{Т)т) С £рП2т(Аф
Доказательство. Зафиксируем в Пт основной базис и рассмотрим изоморфизм групп -0, заданный по правилу (3.4). Рассмотрим группу Є = {'ф(А) Є ЄЬП2т(К)А Є 5р„(А„)}. В силу результатов раздела 3.2 группа С изоморфна £рп(1)т). Покажем, что справедливо строгое включение <£ С Зрп2^(К).
В силу определения симплектической группы над алгеброй Пименова и в силу того, что ф — изоморфизм получаем, что для любой матрицы А Є £ргг(1)т) справедливо ф(АТ)ф(Зо)ф(А) = ^(£о) или ф(Зо)~1ф(Ат)ф(30) = ф(А)~г. По определению симплектической группы над полем, ДЛЯ ТОГО, чтобы б? С Зрп2т{К) необходимо и достаточно, чтобы существовала невырожденная кососимметричная матрица 5 такая, что ф(А)тЗф(А) = £ для любой матрицы А Є £р„(Д.„). Последнее условие можно переписать в виде 3~1ф(А)т3 = ф(А)~1. Следовательно, для того, чтобы б? С ЗрП2т{К) необходимо и достаточно, чтобы ф(Зо)~1ф(АТ)ф(Зо) — 3~1ф(А)т 3 для некоторой невырожденной кососимметричной матрицы £ и любой матрицы А Е £р„(Д„).
Аналогично случаю ортогональных групп нетрудно показать, что в качестве 5 можно взять матрицу £о<8>1), где И — это матрица размера 2т х 2т, на второстепенной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0. Другими словами, £ — блочная матрица размера п х п, на второстепенной диагонали которой в первых п/2 строках стоят блоки £>, во вторых п/2 строках блоки —£), а все блоки вне второстепенной диагонали являются нулевыми. Нетрудно видеть также, что матрица £ удовлетворяет равенству £г££ = £, но £ 0 £рп(£)т), если в Бт зафиксирован основной базис. Отсюда следует строгость включения.
3.4.3 Обобщенно-унитарные группы Пп(£>т)
Предыдущие два рассмотренных класса линейных групп над алгеброй £>т являются, можно сказать, аналогами ортогональных и сим-