Алгоритмы вычисления оптимальных коэффициентов

• Автор: Добровольская, Лариса Петровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 181 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Меры качества для оптимальных коэффициентов
§1. Граничные функции некоторых классов
§2. Граничные функции класса для формул приближенного
суммирования
§ 3. Несколько лемм о произведении синусов
Глава 2. Теорема А. О. Гельфонда и оптимальные коэффициенты
§1. Суммы по приведенным системам вычетов
§2. Критерий оптимальности
§ 3. Применение критерия оптимальности
Глава 3. Алгоритмы поиска для произвольного N
§ 1. Обобщенный критерий оптимальности
§ 2. А-оптимальность
§3. Описание общего алгоритма
§4. Применение разложения параллелепипедальной сетки на
сомножители
§ 5. Обоснование алгоритма
§ 6. Трудоемкость алгоритма
§ 7. Оптимизация трудоемкости алгоритма
Глава 4. Алгоритмы поиска для специальных N
§ 1. Допустимые последовательности простых
§ 2. Описание алгоритма для специальных модулей
§ 3. Явные формулы для {г)
Оглавление
§ 4. Обоснование алгоритма для специальных модулей
§5. Трудоемкость алгоритма для специальных модулей
Литература
Указатель обозначений

Введение
Диссертация выполнена на кафедре алгебры, математического анализа и геометрии Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого. В ней затрагивается ряд вопросов диофантовых приближений, аналитической теории чисел, геометрии чисел и их приложения к проблемам численного интегрирования.
За пятьдесят лет развития теоретико-числового метода с 1957 года, когда вышла первая работа [29] Н. М. Коробова по этому направлению исследований, с которой и начинается отсчёт в становлении теоретикочислового метода в приближенном анализе, опубликовано значительное количество работ десятков авторов и в нашей стране и за рубежом. Краткая история возникновения этого метода описана её основателем в
[42]. Теоретические предпосылки теоретико-числового метода восходят ещё к работе [51] Г. Вейля, вышедшей в 1916 году, в которой, с одной стороны, содержался интегральный критерий равномерного распределения последовательности по модулю 1, а, с другой стороны, в этой работе были получены первые нетривиальные оценки тригонометрических сумм. Именно применение оценок А. Вейля рациональных тригонометрических сумм было основополагающим при исследование первого класс теоретико-числовых сеток — неравномерных сеток.
Существенное изменение теории и практики вычисления кратных интегралов связано с появлением метода оптимальных коэффициентов
Н. М. Коробова. Центральной проблемой в этом направлении исследований остается вопрос о построении экономных алгоритмов вычисления оптимальных коэффициентов. Именно этому и посвящена данная диссертация, что объясняет её актуальность.
Глава 1. Меры качества для оптимальных коэффициентов

и выполнены соотношения

С(3) < в(т, IV) <

Доказательство. При т = 0 в силу равенства (0.14) имеем:
2=0 2=1 21пЛГ 2, . { гг1\_21пАГ 21пДГ
-1п П2зт (тг {
N N V NiJ / N N
г—1

и для едг(О) утверждение леммы выполнено.
Пусть теперь т Ф 0, —М т Л. Из анализа известно (см. [33], стр. 116), что при {ж} ф 0 справедливо разложение в условно сходящийся ряд Фурье
+°° Ъ-кйх +°°
-21п(2 вт(тг{я})) = Е 47г = £ т2’"1 + е'2*)'
1=-оо I I
Выполнив преобразования Абеля, получим абсолютно сходящийся ряд
+00 1 I
—гьряпЩЩ) = Е 4—4 Е<е2"“ + е_2"“)
2=1 ' ' П
+°° 2 / е2т(1+1)х g27rгI g—2тгг(1+1)х
~ 1(1-4-Ц ( Р2т1Нх _ 1 +
Ф 1(1 +1) V е2п{х -1 е~2п1х ~
Отсюда следует, что при г ф 0(тос1А/’) справедливо равенство
+оо 1 I
-2Ш 2йп , {| ) - Е Е (“”* + «-*») (1-М)
1=1 К ' ' П
Подставляя последнее равенство в выражение для конечных коэффициентов Фурье и пользуясь свойствами символа Коробова, получим выражение этих коэффициентов в виде абсолютно сходящихся рядов: