Бирациональные инварианты и редукции алгебраических торов

• Автор: Попов, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 82 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Линейные алгебраические группы
1.1. Определение линейной алгебраической группы
1.2. Диагональные группы
1.3. Характеры групповых схем
1.4. Точные последовательности алгебраических групп
1.5. Формы и одномерные когомологии
1.6. Дивизоры Картье и Вейля
1.7. Формы групповых схем
1.8. Алгебраический тор
1.9. Группа Пикара линейной алгебраической группы
1.10. Основной бирациональный инвариант линейной алгебраической группы
1.11. Вялые резольвенты модуля
Глава 2. Бирациональные инварианты торов малой размерности
2.1. Два метода нахождения класса р[Т)
2.2. Реализация модулей рациональных характеров /с-торов размерности 3 с помощью стандартных решеток
2.3. Бирациональные инварианты тора Т?
2.4. Бирациональные инварианты тора Х|
2.5. Бирациональные инварианты максимального тора связной полупрос-
той алгебраической группы типа Р'
Глава 3. Редукции алгебраических торов
3.1. Стандартная целая модель алгебраического тора
3.2. Стандартная целая модель квазиразложимого тора
3.3. Замкнутые вложения стандартных целых моделей алгебраических торов
3.4. Свойства стандартной целой модели произвольного алгебраического тора
3.5. Редукция стандартной целой модели алгебраического тора
3.6. Редукция простейшего квазиразложимого тора
3.7. Редукция норменного тора
3.8. Редукция произвольного тора
3.9. Мультипликативная часть редукции алгебраического тора
3.10. Унипотентная часть редукции алгебраического тора
3.11. Редукция торов малой размерности
Литература

Введение
С конца шестидесятых годов нашего века началось успешное применение методов бирациональной геометрии в теории линейных алгебраических групп, в частности, в вопросах арифметики этих групп. К настоящему времени накопилось большое количество фактического материала, систематизированного и обстоятельно изложенного в монографии В. Е. Воскресенского [У2]. Значительно дополняя информацию, содержащуюся в его книге 1977 г. ’’Алгебраические торы” [УО], данная монография восполняет скудные сведения о многообразиях над незамкнутым полем, достаточно подробно освещая необходимые понятия из теории схем и когомологий Галуа. Наиболее актуально это для теории алгебраических торов, так как последние в общей теории комплексных линейных алгебраических групп играли важную, но вспомогательную роль, так как над алгебраически замкнутым полем сам тор имеет весьма простую структуру. Ситуация радикально меняется при переходе к незамкнутым полям. Над такими полями алгебраические торы могут быть устроены весьма сложно, и их изучение приносило и приносит достаточно крупные и неожиданные результаты. Так, исследование арифметики алгебраических торов, проведенное Т. Оно [Опо], привело к получению точной формулы для чисел Тамагавы, что позволило дать ответ и на ряд трудных вопросов арифметики полупростых групп. Далее, изучение алгебраических торов позволило дать ответ на некоторые вопросы арифметики числовых полей. Последнее время возрос интерес к целым моделям алгебраических торов, определенных над локальными и глобальными полями, так как они позволяют вычислять локальные Д-функции Артина, а также точные значения числа классов адельной группы алгебраического тора.
Под целой моделью линейной алгебраической группы С над полем к (локальным или глобальным) понимают групповую схему X, определенную над кольцом целых О поля к такую, что (7 = X (&о к. Существуют несколько подходов к построению целой модели для алгебраического тора. Наряду с классической моделью Нерона, изученной сравнительно недавно Нартом (Е.ЫаН) и Ксарлезом (X. Xarl.es) ДХ], а также К. Лиу ((^. 1ли) и Д. Лоренцини (Б. Ьогепгпй) [ЬЬ] была построена стандартная целая модель, определяемая исключительно параметрами тора Т. Побудительной для построения последней явилась совместная статья В.Воскресенского и Т. Фоминой [Л/Т], окончательную формулировку определение стандартной целой модели приняло в заметке Воскресенского [VI]. Сопоставление указанных моделей стало предметом исследований Б. Э. Кунявского и Сансюка [КиБ]: не обладая, вообще говоря, гладкостью модели Нерона, стандартная целая

модель имеет всегда конечный тип над полем определения. Одна из глав работы посвящена изучению стандартной целой модели Воскресенского и ее редукции по простому модулю.
Отметим еще одно актуальное направление, получившее развитие в данной работе. Пусть L/к — расширение Галуа с конечной группой П, тогда категория /г-торов, разложимых над L, двойственна категории П-модулей конечного ранга и без кручения, т. с. имеется прямая связь торов с целочисленными представлениями конечных групп. Это позволяет трудную задачу бирациональной классификации алгебраических торов отобразить в категорию модулей Галуа (решеток), что приводит к построению бирациональ-ных инвариантов алгебраических торов, которые в ряде случаев оказались весьма эффективными. С их помощью был получен ряд критериев рациональности и стабильной рациональности, а также весьма важные арифметические характеристики построенных инвариантов. В частности, актуальной задачей является проблема вычисления инварианта р(Т) — класса стабильной эквивалентности П-модуля PicX, где X — проективная модель тора Т — максимального тора связной полупростой алгебраической группы. Вычислению инварианта р(Т) посвящены работы Воскресенского, Клячко, Кунявского, Эндо, Мияты, Кольо-Телена, Сансюка, Меркурьева и др. До сих пор вопрос об инварианте р(Т) остается открытым для связных полупростых групп.
Целями данной работы являются вычисление бирациональных инвариантов алгебраических торов, или, что равносильно, целочисленных решеток малых размерностей, в частности, для решеток, определяемых системами корней полупростых групп, а также целью является изучение стандартной целой модели алгебраического тора, и ее редукции, вычисление редукций целой модели торов малой размерности.
Основным инструментом в исследованиях являются методы целочисленных представлений групп Галуа и классификация соответствующих целочисленных решеток. Важный аппарат в исследовании - это группы Брауэра и Пикара соответствующих моделей и их группы когомологий. В работе использованы геометрический и алгебраический методы построения вялых (канонических) резольвент модуля Галуа. Используется двойственность групповых схем и их алгебр Хопфа, а также изучение редукций алгебраических торов методами разложения в композиционный ряд.
Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и геометрии Самарского госуниверситета, на конференции памяти А. Г. Куроша (Москва, МГУ, 1998 г.), на международной конференции ’’Journées Arithmétiques” (Рим, Италия, 1999 г.), на Санкт-Петербургском алгебраи-

вялая резольвента П-модуля Т2 имеет вид:
О -> Т-2 А 5 —»• Ріс Хуа ->■ О,
(2.1)
где 5 - пермутационный II-модуль, порожденный ребрами веера Е. Исходя из описания действия П на примитивных векторах из |Е|, получаем, что 5 = В ® Р. П-модули Л, І*1 в свою очередь допускают следующее описание (в скобках - <> - указывается пермутационный базис): В = 54 (2) £2 (А = ^[84/83] =< П, 1*2) ^3) П4 > - пермутационный 84-модуль, 52 = Щ&2] —< > - пермутационный вг-модуль), і*1 = й[П/£>4] =< /±г, г = 1,3 >, В —< (1і — щ (8> гті, (1-і = щ <Е> и)2, і = 1,4 > .
Вложение а в (2.1) определим на базисе Т2 = Ь, пользуясь правилом а(т) = Егє|Е|(г> т)г>т є Т2-.
в(еі - е2) = <і3 — сг4 — <Я3 + + /і - /2 - 7-і + /-2,
а(е2 ~ ез) = —й2 + 0?4 + (І-2 — <І-4 + ^2 — /з — /-2 + /-з, (2-2)
а(еі 4- ез) = гіі — £?4 — й_і + <Д4 + /і + /з — /-і — /-з-Пусть р : 5 —4 О - проекция, тогда соотношения р о а(еі — е2) = (из — 114) ® [ші-ші], роа(е2—є3) == (ЩщИ2.)®(и'і~-ш2), роа(еі+е3) = (иі-и4)®(ги1-иі2), показывают, что Г2 = где І-,, І2 ~ ядра пополняющих гомоморфизмов
щ : 5,; -? 2,'і = 2 или і = 4. Перепишем последовательность (2.1) в виде:
0 —У І® І2 —4 ® 52ф Я —4 —4 0. (2-3)
П-модуль Л’ имеет 2-ранг .11 и А =< ),Ж/і Д >, причем в силу
(2.2) и точности последовательности (2.3) в качестве базиса А можно взять Д(Й4), і = 1, 4, /4(/-А). 7 = 1, 3. Для удобства в дальнейшем /3(ш) бу-
дем обозначать т. Тогда описание действия П на 5 переносится на N. только теперь с?1, «І27 <^з линейно выражаются через базис А":
(/ = + (1-і — (1-4 — /і — /з + /_і + /_3>
С?2 = Й4 + Й-2 - І 4 + /2 - /з - /-2 + /-Зі
Йз = ^4 + <и ~ Й-4 - /і + /2 + /-1 “ /
В силу очевидного равенства Я1)^, А) = Н1{к2) А), тг, = д~1к2д достаточно вычислить бирациональные инварианты тора Т2 для попарно несопряженных подгрупп группы Эз х 32. Составим список таких подгрупп, пользуясь следующим правилом. Для всякой подгруппы 7Г С П определим гомоморфизм (р : л —4 такой, что ір(а х Ь) = а, а х Ь є я С Б4 х Э2, Кег <р = ({1} х 82)П7г, то есть если элемент 1 х (12) не принадлежит